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GRUNDWISSEN MATHEMATIK

Geometrie Grundwissenskatalog

G8-Lehrplanstandard

Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums

Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing

J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

R O H R

Grundwissen Mathematik 5G8

Seite 2 von 30 JNG Rohr

Körper

Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen)

Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen.

Würfel

6 gleiche quadratische Seiten

Quader

Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich.

Prisma

Gleiche eckige Grund- und Deckfläche.

Pyramide Eckige Grundfläche und Spitze

Zylinder

Gleiche kreisförmige Grund- und

Deckfläche



A B

A B

A B

Kegel

Kreisförmige Grundfläche und Spitze

Kugel

Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt

gleich weit entfernt.

Geometrische Grundbegriffe

Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte

zwischen A und B einschließlich A und B.

Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B.

Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der

senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(P;g)

Halbgerade [AB

Gerade AB



zueinander senkrecht: ⊥

Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD:

zueinander parallel: ||

Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]:

Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten

Punkt A (Parallelverschiebung)



M x

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende

Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare

kreuzen.

Parallelogramm Rechteck (Parallelogramm mit vier rechten Winkeln)

Quadrat Raute (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten)

Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die glei-

che Entfernung (Radius r) k(M;r)



Winkel

Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S

(Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halb-

geraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h.

h

B

S A g

Bezeichnungen: (g, h) oder ASB

oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ

Winkelarten:

Gradzahl Bezeichnung

0° < < 90° spitzer Winkel

= 90° rechter Winkel

90° < < 180° stumpfer Winkel

= 180° gestreckter Winkel

180° < < 360° überstumpfer Winkel

= 360° Vollwinkel



Achsensymmetrie

Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der

Symmetrieachse senkrecht halbiert wird.

C C‘

. A A‘

B B‘ Symmetrieachse

Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) auf-

einander legen kann heißen achsensymmetrisch.



Rechnen mit Größen

Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.

Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m)

mm → cm → dm → m → km

Massen: Umrechnungszahl ist immer 1000.

mg → g → kg → t

Zeit: s → min → h Umrechnungszahl ist 60.

Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in

Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden.

Rechenregeln:

Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert

werden.

12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m

Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl.

15kg : 3kg = 5

Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, in-

dem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipli-

ziert/dividiert und die Einheit beibehält.

3h20min ∙ 4 =200min ∙ 4 = 800min = 13h20min



Maßstab

1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit

1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit

auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind.

Flächeneinheiten

Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100.

mm2 cm

2 dm

2 m

2 a ha km

2

123 456 m2 = 12 ha 34 a 56 m

2

1m2 2cm

2 34 mm

2 = 10002,34 cm

2

Rechteck:

Quadrat:

Oberflächeninhalte

Quader:

Würfel: (bei Kantenlänge s)

O = 2∙( l∙b + l∙h + b∙h )

)

O = 6s2

U = 2∙( l + b ) A = l ∙ b

AQ = a² UQ = 4a



Flächen- und Rauminhalt

Parallelogramm:

P a bA a h b h ;

Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe.

Dreieck

1D a2

1b2

1c2

A a h

b h

c h ;

Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flä-

cheninhalt

Trapez

1T 2

A (a c) h

m h ;

.

.

. .a

ah

bhb

c

d

c

ab

ha

hb

hc

A B

C

.

.

.

a

b

c

d m

h

.

.

.



Volumeneinheiten:

mm3 cm

3 dm

3 m

3

Umrechnungszahl 1000

bzw. Komma verschiebt sich um

3 Stellen

1 ℓ = 1 dm3

Bsp: 123 456 cm3 = 123,456 dm

3

= 123 dm3 456 cm

3

1m3 2dm

3 34 cm

3 = 1 002 034 cm

3 =1,002034 m

3

Volumen des Quaders

l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l b Grundfläche

Volumen des Würfels

s = Seitenlänge

Vw = s3

VQ = l b h = G h

l b

h

s



Symmetrische Figuren

Achsensymmetrie

Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:

Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P

der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende

Weise zugeordnet:

Falls P a, liegt P’ so, dass [PP’] von

der Achse a senkrecht halbiert wird.

Falls P a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt)

Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden

sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wie-

der auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie

Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:

Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem

Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so

zugeordnet:

Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ

und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion)

Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt).

a

A

C

A’ B=B’

C’

Z A

B

C

C’

A’ B’



Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer

Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum) wie-

der auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch.

Besondere Vierecke

Parallelogramm

Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten

parallel sind, heißt Parallelogramm.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.

Sonderfälle:

Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

(zweifach diagonalsymmetrisch).

Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln

(zweifach mittensymmetrisch).

Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

und 4 gleich großen Winkeln

(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).

Trapez

Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel

sind, heißt Trapez.



2

2

2

2

h

g

1

1 1

1

Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch

gleichschenkliges Trapez.

Drachenviereck

Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es

eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken

hat (einfach diagonalsymmetrisch).

Sätze über Winkel

Geradenkreuzung:

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt

schneiden, nennt man eine Geraden-

kreuzung. Nebeneinander liegende

Winkel heißen Nebenwinkel, sie erge-

ben zusammen stets 1800. Gegenüberliegende Winkel heißen

Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.

Doppelkreuzung:

Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2,

1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Stu-

fenwinkel (F-Winkel).

1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1

und 2 heißen Wechselwinkel (Z-

Winkel).

1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel



Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn

die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch Nach-

barwinkel zu 180°

Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:

Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem

Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180°

Besondere Dreiecke

Das gleichschenklige Dreieck

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten

(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite

heißt Basis.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Dreieck ist gleichschenklig.

Das Dreieck ist achsensymmetrisch.

Das Dreieck besitzt zwei gleich große Win-

kel. Basis

Das gleichseitige Dreieck

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten

heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betra-

gen jeweils 600.



A

B

C

AB

C

Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C

einen rechten Winkel, wenn C auf dem

Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis)

Die Schenkel des rechten Winkels sind die

Katheten, die Gegenseite des rechten Win-

kels ist die Hypotenuse (längste Seite).

Besondere Linien im Dreieck

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein

Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mit-

telsenkrechten zu den Dreiecksseiten

(kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks

oder auf einer Seite liegen).

In jedem Dreieck schneiden sich die Win-

Winkelhalbierenden in genau einem

Punkt, dem

Inkreismittelpunkt.



Im Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt.

Im Dreieck schneiden sich die Seitenhal-

bierenden im sogenannten Schwerpunkt.

Kongruenz

Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen de-

ckungsgleich oder kongruent.

Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:

F G.

In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel

gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang.



Kongruenzsätze für Dreiecke

SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten überein-

stimmen.

SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem

Zwischenwinkel übereinstimmen.

WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und

SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.

SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem

Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:

In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel ge-

genüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen Drei-

ecksseiten.

Konstruktionen

Symmetriepunkt

1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit

Radien AP und BP

2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der bei-

den Kreise



Pg

AB

AB

Mittelsenkrechte

G

H

a

waw

S

Mittelsenkrechte

(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)

1. Kreis um A und B mit gleichem Radius

r

2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die

Mittelsenkrechte von [AB]

Winkelhalbierende

1. Kreis um S mit beliebigem Radius r

schneidet die beiden Schenkel des Winkels

in G und H

2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkel-

halbierende

Lot errichten (Pg)

1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.

2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das

gesuchte Lot

Lot fällen (Pg)

1. Spiegle P an der Achse g.

2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot.

w



Strahlensatz

Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten:

V-Figur

« Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten »

X-Figur

Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich wie die entspre-

chenden Abschnitte auf g2.

Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre

Abstände zum Geradenschnittpunkt Z.

g1

g2

A1

B1

A2 B2

A1

B1 A2

B2

Z

g1

g2

21:211:1 :Parallelen dieüber

22:211:1 :Schenkel dieüber

BBAAZBZA

BAZABAZA

Z



Ähnlichkeit

Ähnliche Figuren

Zwei Figuren F1 und F2 heißen ähnlich

(F1 ~ F2), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabs-

und winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab Ähnlichkeits-

faktor).

Ähnliche Dreiecke

Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entspre-

chende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß.

Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen):

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen

mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer

Seiten übereinstimmen.

Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlich-

keitsfaktor gleich 1.



Das rechtwinklige Dreieck

Die Satzgruppe des Pythagoras

Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras):

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das

Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe

der Flächeninhalte der Kathetenquadrate.

(Die Umkehrung des Satzes gilt auch!)

Höhensatz:

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat

über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus

den beiden Hypotenusenabschnitten.

qph2

c A B

C

a b

p q

222 cba

h

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Kapitolinischer_Pythagoras_adjusted.jpg&filetimestamp=20070818113246



qcbbzw.pca 22

Kathetensätze:

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes

Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus

der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden

Hypotenusenabschnitt.

Merkenswerte Anwendungen:

Diagonale im Quadrat:

Höhe im gleichseitigen Dreieck:

Raumdiagonale im Quader:

Trigonometrie (0° < α < 90°)

Sinus: Gegenkathete von

sinHypotenuse

Kosinus: Ankathete von

cosHypotenuse



Tangens: Gegenkathete von

tanAnkathete von

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

sintan

cos

2 2sin cos 1

Schreibweise: 22sin : sin

0°

30° 45°

60° 90°

sin 0

1

2

12

2

13

2

1

cos 1

1

32

12

2

1

2 0

tan

0

1

33

1

3

nicht

definiert



Raumgeometrie

Cavalierisches Prinzip

Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächenin-

halts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in

inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volu-

men.

Pyramide

Höhe h: Lot von der Spitze auf die Grundebene.

Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen

Volumen: hG3

1V

Tetraeder: dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten.

Spitze S

Seitenkante

Seitenfläche

(Dreieck)

Grundfläche G

(Vieleck hier

Sechseck)



Neigungswinkel β einer Geraden gegen-

über einer Ebene (hier Seitenkante s und

Grundflächen-ebene)

Neigungswinkel α einer Ebene gegen-

über einer Ebene (hier Seitenflächen- und

Grundflächen-ebene)

Prisma Volumen hGV

Oberfläche: GMO 2

Zylinder Volumen hrhGV 2

Mantelfläche: hrhuM Kreis 2

Oberfläche: 2222 rhrGMO



Kegel Volumen:

Die Mantelfläche ist ein Kreissektor

mit dem Radius s (Mantellinie) und

der Bogenlänge 2r Mantelfläche srM .

Oberfläche:

2rsrGMO

Netze

Pyramidennetz Prismanetz

2rs

hrhGV 231

31



Die Kreiszahl π

Kreisteile

Bogenlänge:

rub

180360

Sektorfläche: 2

360360rAA KreisSek

br

21

Bogenmaß

Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis

Bogenlänge

Radius, also die Zahl

180x .

Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°

Bogenmaß x 0 1

6

1

4

1

3

1

2 2

Merke:

x

180 , also 180

x

Kugel und

3

34 rV π4rO 2



Trigonometrie

Einheitskreis

Die Sinus- und Kosinuswerte der

Winkel

(180 ), (180 ), (360 )

sind betragsgleich.

Für die Vorzeichen gilt:

Sinus Kosinus

negative Winkel (im Uhrzeigersinn)

sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan

451

221sin )2

21(si n

1 und

135180 12

5,252360 und 5,1073,0cos 121

sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5

cos α = sin (90° - α)

sin

sin

-sin

-sin

tan

cos-cos 1

1

-1

-1



Sinus- und Kosinussatz

Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem Verhältnis

der Sinuswerte der Gegenwinkel.

sin

sin

b

a

sin

sin

c

a

sin

sin

c

b

In jedem Dreieck gilt : cos2222 abbac

cos2222 bccba

cos2222 accab

(Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall, 90 )

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