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Argumentieren lernen im

Mathematikunterricht

Prof. Dr. Regina Bruder

FB Mathematik

TU Darmstadt

27.09.2014 Dortmund

www.math-learning.com

http://www.math-learning.com/



Gliederung

1. Problemsicht: Argumentieren im Alltag und in der

Mathematik – in heterogenen Lerngruppen

2. Was heisst es „mathematisches Argumentieren“ zu

erlernen?

- Grundtypen für Begründungsaufgaben

- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

- Kompetenztraining zum Argumentieren

3. Argumentationsanlässe im MU

Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als

in der Mathematik

Alltag:

„Ich hoffe, er ist pünktlich.“

„Bisher war er immer pünktlich!“

„Dann bin ich beruhigt.“

„Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17“

„Ich hoffe, die Formel stimmt!“

„Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!“

Mathematik: Welche Schlussweisen sind erlaubt?

Alltag:

„Ich konnte meine HA nicht machen weil...“

„Ich brauche mehr Taschengeld, weil...“

Welche Argumente wirken besonders überzeugend?

Mathematik: Welche Argumente sind zugelassen, welche sind geeignet?

Beweisen

Unter einem Beweis einer Aussage A versteht man

eine Kette (endlich) von Umformungen,

die mit Hilfe gültiger Schlussregeln vorgenommen werden

und die von wahren oder als wahr angenommenen Aussagen ausgehen

und zu der Aussage A führen.

Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale

Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum.

Funktionen des Beweisens in der Mathematik:

- Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen

Wissens (demonstrative Funktion)

- Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen

(explorative Funktion)

Beweisen in der Lebenswelt:

Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung

Phänomene und Probleme:

Die Erwartungen an Alltagsargumentationen werden auf mathematisches

Beweisen übertragen – und es entsteht oft neue Unsicherheit:

Bei den Lernenden:

- symbolische Argumentationsketten

bzw. rechnerische Lösungen

sind nicht per se verständnisfördernd

bzw. überzeugend

Bei den Lehrkräften:

Beispielgebundene

Erklärungen sind kein

math.Beweis, also

weglassen und lieber

gleich „richtig“ machen?

„EIS-Modell“ auch beim Beweisen???

Enaktiv:

Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum

Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathematikum Gießen)

Ikonisch:

Symbolisch:

Anwendung von Ähnlichkeitssätzen

Scherungsbeweise, Puzzle...

Beispiel: Innenwinkelsummensatz für ebene

Dreiecke

Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant

bleibt – aber wie groß ist sie?

Vermutung durch Messen – das ist aber kein zulässiges mathematisches

Werkzeug

Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen

Ecken abreißen und aneinander legen

Ikonisch: Winkel messen

Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite

durch gegenüberliegenden Eckpunkt

Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und

Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen

Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet:

Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können

Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen (EIS)

Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind

Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck?

Kritisch weiter denken: Stimmt das immer?

Auch auf der Kugel?




Bei den Lernenden:




bzw. überzeugend


Beispielgebundene


math.Beweis, also



Lösungsansatz: Beim Argumentieren Kommunikationselemente mit

aufnehmen und damit Aktivitäten auf verschiedenen

Erkenntnisebenen zulassen

(EIS-Modell, figurative Beweise...)

„Sie reden von Rechtecken und nun zeichnen Sie da ein

Quadrat...“

Probleme mit mathematischen Begriffen:

„Ein Prisma? Na, das ist eine

Tobleroneschachtel!“

Scheitern im Informatikstudium:

Mangelnde sprachliche Stringenz!

Dem Computer muss man sehr genau sagen, was er

machen soll...

…Ja, so habe ich das doch gemeint!

Moderate Forderungen an

Beweisdarstellungen in der Schule

Beweisschema als Strukturierungshilfe – oder Beweisbäume/Lösungsgraphen

6 teilt n³+11n für nat. n>0

Feststellung Begründung

n³+11n = n³+ (12n – n) sinnvolle Zerlegung, um „Symmetrien“ zu

erzeugen bzw. Bekanntes;

nur noch zu zeigen, dass

n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist

n³-n = n (n²-1)

= n (n+1) (n-1) Zerlegung mit 3.binomischer Formel

6 teilt (n+1) n (n-1) weil das Produkt dreier

aufeinander folgender natürlicher

Zahlen immer durch 2 und durch 3 teilbar ist

Bericht einer Lehrkraft:

Jaschke, T.(2009): Bewusstes Argumentieren. In: ml 155, Friedrich Verlag, S.50

„Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in dein Heft. Konstruiere dann über jeder Dreiecksseite

ein Quadrat und bestimme deren Flächeninhalte. Was fällt auf?“

Die Ungenauigkeiten erklären die SuS plausibel mit Mess-, Zeichen- und Ablesefehlern.

Ich notiere an der Tafel: „Wir vermuten, im rechtwinkligen Dreieck gilt:… “.

Mithilfe zweier großer Quadrate aus Tonpapier erarbeite ich anschließend gemeinsam mit der Klasse den

klassischen „Anschauungsbeweis“ für die Richtigkeit des Satzes von Pythagoras.

Als wir fertig sind, meldet sich ein Schüler und sagt:

„So viel Aufwand Herr Jaschke, das hätten wir ihnen doch auch so geglaubt...“

(a+b)² = 4· (½ · a·b) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²




Bei den Lernenden:




bzw. überzeugend

- Probleme mit der

Fachsprache

- fehlende Einsicht in die

Beweisnotwendigkeit


Beispielgebundene


math.Beweis, also



Lösungsansatz: Mehr die explorierende

Funktion des Beweisens nutzen –

Forschungsaufträge, Mathegeschichten

erfinden mit Argumentationen – aber auch:

Fehler finden…

Gliederung




erlernen?





Worum geht es beim Erlernen mathematischen

Argumentierens?

Ziel des MU als Beitrag zur Allgemeinbildung (Heymann, 1996):

Systematische Auseinandersetzung mit der

Zulässigkeit von Argumenten und Schlussweisen

Argumentieren im MU ist der Oberbegriff für verschiedene Tätigkeiten des

(mathematischen) Begründens und Beweisens.

In den Bildungsstandards:

Die Kompetenz „Mathematisch Argumentieren“ (K1)

beinhaltet das Verbinden mathematischer Aussagen zu

logischen Argumentationsketten, aber auch das Verstehen

und kritische Bewerten verschiedener Formen

mathematischer Argumentationen.

Mathematisch Begründen und Beweisen

lernen bedeutet dann aber auch:

- Feststellen, wann eine Aussage begründet bzw.

bewiesen werden muss

- Logische Fähigkeiten und Fragehaltung entwickeln

Ist das (immer) richtig?

Wie kommt das eigentlich?

Gilt auch die Umkehrung?

Gibt es noch andere Argumentationswege?

Argumentieren im MU meint...

...jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des

Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen inner-

und außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011)

Unterscheidung:

Mathematisches Argumentieren setzt stets (gültige) Argumente voraus und ist

an bestimmte Schlussweisen gebunden.

Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen – weniger ein adressatengerechter

Informationsaustausch.

Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und

Interpretationen (Euler, 1994).

Welche Argumente und Schlussweisen sind

zulässig?

Argumente in der Mathematik:

Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral...

Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze

Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen): Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen...

Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder

Sätze anwenden zu können)

Welche Argumente und Schlussweisen sind

zulässig?

Logische Schlussregeln:

Abtrennungsregel oder Schluss aus einer Universalaussage:

Beispiele:

gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Winkel

ABC ist gleichseitig

ABC hat drei gleiche Winkel

Jede durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar:

24 ist durch 8 teilbar.

24 ist auch durch 4 teilbar.

Grundtypen von Begründungen im MU

1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines

Begriffes


Verfahrens


Satzes (verwenden i.d.R. Schluss aus Universalaussage)

4. Begründen über den Schluss der Kontraposition

5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines

Gegenbeispiels

1. Begründung durch Identifizieren eines

Objektes oder einer Relation

Aussage: Der Zug ist eine Regionalbahn!

Begründung: Er hält an jedem Bahnhof, den er

passiert.

----------------------------------------------------------------------------

Objekt:

Begründung: Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils

zwei gegenüberliegende Seiten parallel

und gleichlang sind.

2. Begründung durch Realisieren eines

Verfahrens

Aussage: Der Sportler ist gedopt.

Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften

Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis.

---------------------------------------------------------

Aussage: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung:

5x+3y = 22

8x-4y = 10

Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist gerechtfertigt

und führt zur Lösung x= … und y= … .

Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als

lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder

identisch noch parallel sind.

3. Begründung durch Identifizieren oder

Realisieren eines Zusammenhangs

Bekannt: α = 30°, β = 70°

Aussage: γ = 80°

Begründung:

Innenwinkelsummensatz für (ebene) Dreiecke

4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes

Trifft A ein, folgt B. A => B

Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A nicht eingetroffen.

kein B => kein A

Aussage: Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B).

Situation: Der Boden ist nicht nass.

Folgerung: Da der Boden nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.

------------------------------------------------------------------------------------

Begriff: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei

Seiten parallel verlaufen.

Satz: Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt...

Aussage: Das ist kein Trapez.

Begründung:

Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel.

5. Widerlegung einer Universalaussage durch

ein Gegenbeispiel

Aussage: Alle Rosen sind rot.

Widerlegung: Zeigen einer andersfarbigen Rose.

------------------------------------------------------------------------------

Aussage: Alle Vierecke sind Quadrate.

Widerlegung: Das ist ein Viereck, aber kein Quadrat.

Stufenmodell zum Kompetenzaufbau

Intuitive Phase

Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fachinhaltlich korrekte

Argumentationen (Lehrervorbild);

Bewusste Phase

0 Identifizieren von Argumenten (und Schlussweisen)

I Begründungen nach den fünf Grundtypen ausführen

(Bezug auf eine Definition, Bezug auf einen Satz, Anwenden eines

Verfahrens, Widerspruchsbeweis, Angeben eines Gegenbeispiels)

II Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen

und wiedergeben

III Mehrschrittige Argumentationen prüfen und vervollständigen

IV Eigenständig mehrschrittige Argumentationen aufbauen

Gliederung




erlernen?





Kompetenztraining: Etwas über das

mathematische Argumentieren lernen:

Argumente vereinbaren a) Nenne ein typisches Argument deiner Eltern, warum du dein Zimmer

aufräumen sollst.

b) Nenne eine Situation, in der in letzter Zeit Argumente im

Mathematikunterricht eine Rolle gespielt haben.

c) Erläutere kurz, worin Unterschiede und Gemeinsamkeiten bei

Argumentationen im Alltag und innerhalb der Mathematik bestehen.



Argumente vereinbaren

Argumente im Einsatz

Argumentationstraining

Beweisschritt Begründung auf Grundlage von Definitionen

und Sätzen

ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck; Satz des

Pythagoras

………………………………………..

1. BHC ist ein rechtwinkliges Dreieck; Pythagoras

…………………………………………

Addiere die Zeilen 3 und 4

Da die Zeilen 1 und 5 richtig sind; gleiche

Summanden zusammenfassen

1. ( + )2 =

………………………….

Da die Zeile 2 gilt.

Binomische Formel;

1. ………………………………

………….

……………………………………………

…………………………………………… In der Argumentationstabelle soll ein Beweis für diesen Satz formuliert werden. Einige Lücken sind noch offen, ergänze diese.

Reflexionen zum mathematischen

Argumentieren (analog gültig für Modellieren

und Problemlösen)

Was hat uns geholfen die Aufgabe zu lösen?

(den/einen Beweis zu finden)

Welche mathematischen Zusammenhänge (Argumente) haben wir nutzen

können?

Form der zweispaltigen Beweisdarstellung als Unterstützung

Welche Strategien waren hilfreich, um eine lückenlose Argumentation

aufzubauen?

z.B. Kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten mit

umstrukturierten Wissensspeichern

Frage

++ + - --

Arg

um

en

tie

ren

Ich kann auf einer mir bekannten Definition eines Begriffes ein

Argument aufbauen.

Ich kann auf einem mir bekannten mathematischen Satz ein

Argument aufbauen.

Ich kann ein bereits akzeptiertes Verfahren anwenden, um meine

Argumente zu stützen.

Ich kann eine fehlerhafte Argumentation durch ein Gegenbeispiel

widerlegen.

Ich kann eine Aussage mithilfe eines Widerspruchsbeweises belegen.

Ich kann angefangene Argumentationsketten vervollständigen.

Ich traue mir zu, dass ich auch komplexe Zusammenhänge

mathematisch korrekt nachweisen kann.

Üb

er

Arg

um

en

tati

on

en

na

ch

de

nk

en

Ich überlege mir nach einer gelungenen Argumentation, was mir

geholfen hat, diese zu formulieren.

Ich überlege mir, ob meine Argumentation auch kritischen Nachfragen

standhält.

Ich notiere mir neue und zulässige Argumentationsgrundlagen in

meinen Wissensspeicher.

Ich kann mit meinen mathematischen Argumenten meine Mitschüler

überzeugen.

Ich kann eine fehlerhafte

Argumentation durch ein

Gegenbeispiel widerlegen.

Kompetenzcheck

Gliederung




erlernen?





3. Argumentationsanlässe im MU in allen

Unterrichtssituationen

- Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung

- Sonderfälle finden

- Annahmen machen beim Modellieren

- Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen

- Vorgehensweisen vergleichen

(Explorative Funktion des Argumentierens)

- Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen)

- Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis) für eine

Kommunikation

- Fehler finden, Widersprüche aufdecken

(Demonstrative Funktion des Argumentierens)

2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen

Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem

Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen,

dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen

zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am

Ende des 2.Jahres fällig werden.

Problem:

Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel

und √1,1664=1,08

a b

Beobachtung:

Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel.

Fragen: Ist das immer so? Warum denn?

Beschreibungsebene der Mathematik:

Vermutung:

Begründung durch eine geometrische Interpretation:

a b

a b

2> a,b pos. reell

a b

2

a b

Mathematik treiben: Forschungsaufträge

„Neue“ Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...)

Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?

Warum gibt es nur 5 Platonische Körper?

Ist das eine Mogelpackung?

Welche Größe hat der Schuh?

Umsetzung in heterogenen Lerngruppen:

Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen

durch „Blütenaufgaben“ (Lernstile beachten!)

„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5)

- als Lern- und Testaufgabe geeignet

Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.

Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe

36 ab.“

Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl

benennen kann.

a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?

b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.

Welche Zahl hatte er sich gedacht?

c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte

Zahl berechnen?

Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

Zahlenfolgen geometrisch gesehen

Zahlenspiralen: Im Quadratgitter die Kästchenfolge bilden: 1,2,3,4,5 mit

jeweils 90°- links –Drehung

7

Alternativ: Folge 1,4,1,5,6

Satz: Jede Figur zu einer Zahlenfolge der Länge 5 schließt sich nach

höchstens 4 Durchläufen.

Die Folgenglieder werden als Geh-Anweisung betrachtet.

Beweisen bzw. im Sinne der

Bildungsstandards Argumentieren lernen mit

geeigneten Aufgabenformaten:

Ist das richtig? Gilt das immer?

(p-q-Formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz...)

Gilt auch die Umkehrung?

(Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die

Diagonalen aufeinander senkrecht.)

Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so?

(Der konvergierende Faltwinkel)

... und unter Einbeziehung der Satzfindung:

Kann man das herausfinden?

(Diagonalenzahl im konvexen n-Eck, Mittelwertsatz...)

Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden?

Aufklären – warum ist das so? Kann das sein?

Die Einparkformel nachvollziehen (Abstand 0 zum Nachbarauto - realistisch?)

Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster?

Zahlentricks aufklären: „Multipliziere die Zahl

Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 !

Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebnis!“

Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2

subtrahiert, erhält man das Alter der Person.

Fehler aufklären: a = b

a2 = ab

a2 + a2 - 2ab = ab + a2 - 2ab

2(a2 - ab) = a2 – ab

2 = 1

Einen Leserbrief schreiben

Leserbrief schreiben

Mach den Otto zur Null!

(Pinkernell, Projekt CALiMERO)

Der CAS-Rechner

versteht ein Wort anders

als du.

Zum Beispiel verändert

er es, wenn man

zwischen die

Buchstaben

Rechenzeichen einsetzt.

Aktueller Literaturhintergrund:

Wege zum Beweisen. mathematik lehren, Heft155, Friedrich Verlag 2009

Beweisen lernen. MatheWelt in ml 155

Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011

Wie wirst du ein Pythagoreer? MatheWelt in ml 168

Vielen Dank für das Interesse!

Kontakt: [email protected]

www.madaba.de Aufgabendatenbank für Mathematik-

Lehrkräfte

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in Kooperation mit dem

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