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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 14.11.2006

Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann ein lineares

passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein.

R LC

Widerstand Spule Kondensator

Lineare passive Zweipole (Verbraucherzweipol)Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):

Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet!

Lineare aktive Zweipole (Erzeugerzweipol)Verbraucherzählpfeilsystem (VZS)

Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt!

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

Spannungs-quelle

Batterie Strom-quelle

I

U

I

U

I

U

I

U

I

U

I

U

A

B

Passiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Aktiver

linearer

Zweipol

IU„Black Box“

Betrachtung„Black Box“Betrachtung


2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A

und B,

dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten,

I=I(U) oder U=U(I) muss bekannt sein.

Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005])

I

1R

A

B

U

q1U q2U q3U

2R 3R

Zweipol


2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem

Strom- und Spannungsrichtungen in einem Netzwerk aus Zweipolen können willkürlich eingetragen werden, die Kirchhoffschen Gesetze gelten immer!

U R I Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):

( Strom- und Spannungsrichtung gleich!)

Dann 0P U I Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher)

0P U I Dann Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator)

Generatorzählpfeilsystem (GZS) bzw. Erzeugerzählpfeilsystem (EZS)

U R I ( Strom- und Spannungsrichtung entgegengesetzt!)

0P U I

0P U I Dann

Dann Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher )

Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator )

Bild 2.28. Zählpfeile am Generator- und Verbraucher-Zweipol(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005])

I

U UU

I

R

I

Generator /Erzeuger

Verbraucher

Unterschiede liegen in der Beziehung zwischen realer Leistungsflussrichtung und den Vorzeichen von Strom und Spannung!

Verbraucher:

Verbraucher:


2.4.1 Verbraucherzählpfeilsystem und Erzeugerzählpfeilsystem

Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):

Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) - Generatorzählpfeilsystem (GZS)

A

B

Passiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Aktiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Passiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Aktiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Passiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Aktiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Passiver

linearer

Zweipol

IU

A

B

Aktiver

linearer

Zweipol

IU

Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) sind dieStrom- und Spannungsrichtungen am passivenlinearen Zweipol (Verbraucher) gleichgerichtet.

Im Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) sind dieStrom- und Spannungsrichtungen am aktivenlinearen Zweipol (Erzeuger) gleichgerichtet.


2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem

A

B

12 mAI

q

12 V

U 1 kΩ

R 12 VRU

Passiver

linearer

Zweipol

Aktiver

linearer

Zweipol

q 3 3 3R

12 V12 10 A 12 mA; 1 kΩ 12 mA 1 10 Ω 12 10 A 12 V

1 kΩ

UI U R I

R

q q

q

12 V 12 mA

144 mW

P U I

P

R

12 V 12 mA

144 mW

R

R

P U I

P

12 mAI

(VZS) (VZS)

Passiver

linearer

Zweipol

I

A

B

IU„Black Box“

Betrachtung

Aktiver

linearer

Zweipol

Leistungs-berechnung

q R 0P P 1

N

nn

P

Die Summe über alle Leistungen in einem Stromkreis ist Null.

Nebenrechnung:


2.4.2 Spannungsquellen

Wechselspannungsquelle:

► Drehstrom-Generator - wichtigste Spannungsquelle, die den technischen Wechselstrom erzeugen - Gleichspannung erst nach Gleichrichtung

Gleichspannungsquelle:

► Alle Arten von chemischen Spannungsquellen: * Trockenbatterie * Bleiakkumulator (Auto-Batterie) * Photovoltaikanlage (PV-Anlage) - Wechselspannung über Wechselrichtung z. B. Sunny Boy der Firma SMA



U f I U U I

i q 0U U U

Lineare Näherung für die Funktion

mit Uq = Quellenspannung

Ri = Innenwiderstand nicht real,

nur indirekt messbar

Bild 2.29. Belastung einer Spannungsquelle mit einem Widerstand R (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005])

I

UqU iU

iR a

b

1M

liefert der Maschenumlauf M1:

R

Zweipol - Spannungsquelle

q iU U U

y m x b Geradengleichung:

Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz

1

0N

nn

U

q i( )U I U R I

i iU R I

(2.44)



Bild 2.30. Abhängigkeit der Klemmenspannung von Belastungsstrom bei einer linearen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])

q iconst, const!U R Setzt voraus, dass In Realität aber: -> (siehe nächste Folie)

I

UqU iU

iR a

b

1MR

Zweipol - Spannungsquelle

q i

i

( )U

U I U R I

(2.44)

qU

U

IKI

i iU R I

U R I U f I

i qU R I U

q const.U

0I

0U

Leerlauf Entspricht:

Klemmen a-b offen!

KurzschlussEntsprcht: Klemmen a-b

kurzgeschlossen!

Klemmenspannung als Funktion von Uq, Ri und I:



Bild 2.31. Innenwiderstand Ri= f(I) bei verschiedenen neuwertigen 1,5-V-Trockenbatterien

(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])

Bild 2.32. Innenwiderstand zweier 12-V-Bleiakkumulatoren (Auto-Batterien) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])

i

Ω

R

/ AI

i

mΩ

R

/ AI

K. Z.

A. M.

N. C.

g.

n.

K. Z. Kohle-Zink-Element

A. M. Alkali-Mangan-Element

N. C. wider aufladbares

Nickel-Cadmium-Element

g. gebrauchter Akku

n. neuwertiger Akku


Bild 2.33. Messung des Kurzschlussstromes IK


KI I

qUab 0U

iR


qK

i

UI

R

q Li

K K

Leerlaufspannung

Kurzschlussstrom

U UR

I I

Messung des Kurzschlussstrom IKeiner Spannungsquelle

a

b

A

Problem: Der Kurzschluss führt zu unzulässig hohen Strömen!

Bestimmung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle:

M 0R

d.h. Kurzschluss überdas Strommessgerät

(Amperemeter)

Messung der Leerlaufspannung UL

einer Spannungsquelle

L qU U ab q LU U U

0I

qU

Bild 2.34. Messung der Leerlaufspannung Uq


iR

a

b

V

MR

d.h. Leerlauf überdas Spannungsmessgerät

(Voltmeter)

Kurzschlusss (K) = short circuit (sc)

Leerlauf (L) = open circuit (oc)


Beispiel 2.13: Bestimmung von Ri und Uq aus zwei Belastungsfällen

Lösung:

q i1 1U U R I

q i 2q i1 2 1

i i1 2

i i2 1

2 1i

U R IU U U R I

R I R I

R I R I

I IR

Da aber real der Kurzschluss zu unzulässig hohen Strömen führt zwei Ersatzmessungen (Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig definiert!):

Differenz der beiden Belastungsfälle bilden:

1 2i

2 1

Spannungsdifferenz

Stromdifferenz

U UR

I I

q i2 2U U R I

Belastungsfall 1:

Belastungsfall 2:

Umgestellt gilt dann für den Innenwiderstand:


2.4.3 Linearität

U R I q iU U R I

Spannungsquelle

1

1

0

0

N

nn

N

nn

I

U

Kirchhoffsche Gesetze

Da in diesen Gleichungen nur Summen bzw. Differenzen von Spannungen oder Strömen, ggf.

multipliziert mit Konstanten wie z. B. Funktionen von Widerstandswerten, und keine Produkte beider oder

z.B. trigonometrischer Funktionen, Exponentialfunktionen oder Potenzen von ihnen auftreten,

sind alle Gleichungen linear, ebenso alle möglichen Kombinationen, die man daraus ableiten kann!

Ohmsches Gesetz

Ein Netz, das nur Ohmsche Widerstände und lineare Quellen enthält, nennt man ein lineares Netz!


2.4.3 Linearität

I G U

1 1I U G U

2 2I U G U

1 2 1 2

1 2 1 2I U U I U I U

G U G U G U G U

Bei linearen Beziehungen lassen sich Ströme und Spannungen in einem Netzwerk aus mehreren Lastfällen linear kombinieren, d.h. addieren:

1. Lastfall

2. Lastfall

als lineares Bauelement

Widerstand:

1 2 1 2I U I U G U G U

linearesVerhalten

1 2 1 2 1 2I U U G U U G U G U

( )I U

U1U 2U 1 2U U

1( )I U

2( )I U

1 2( )I U U

konst.

IG

U

I

U


2.4.3 Linearität

TS e 1

U

UI I

1

T1 S e 1

U

UI U I

2

T2 S e 1

U

UI U I

1 2 1 2

T T T TS S

1 2 1 2

e e 1 e e 2U U U U

U U U U

I U U I U I U

I I

Diode:als Beispiel für ein nichtlineares Bauelement

2. Lastfall

1. Lastfall

1 2 1 2

T T T T

1 2 1 2

T T T

1 2 S S S

1 2 S S

e 1 e 1 e e 2

e 1 e e 1

U U U U

U U U U

U U U U

U U U

I U I U I I I

I U U I I

12 6S

T

: Sättigungssperrstrom ( 10 ...10 A)

: Temperaturspannung

I

U

nichtlinearesVerhalten

Dies gilt nicht bei der Verwendung von nichtlinearen Bauelementen, wie z.B. einer Diode!

( )I U

U1U 2U 1 2U U

1( )I U2( )I U

1 2( )I U U

konst.I

U

I

U


Beispiel 2.14: Lineare Zusammenhänge am Spannungsteiler

1 q q2 3

12 3

11 q q

2 31

2 3

1 1 1 1

1I f U U

R RR

R R

RU f U U

R RR

R R

U f I R I

2 32 q q

1 2 2 3 3 1

2 32 1 1

1 2 3

2 32 1 1

2 3

R RU f U U

R R R R R R

R RU f U U

R R R

R RU f I I

R R

Lösung:

Andere lineare Beziehungen, jetzt zwischen 2 Größen:

21 2 3 3

2

,U

I f U I IR

11 2 3 2 1 3

2

,R

U f U I U R IR

Bild 2.35. Belasteter Spannungsteiler(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 56, 2005])

Gegeben: Belasteter Spannungsteiler in Bild 2.35

Gesucht: Zusammenhänge zwischen Spannungen und Ströme

Allgemein gilt: Durch Umformung und Auflösen von

Gleichungssystemen aus mehreren linearen Gleichungen

entsteht immer wieder lineares Gleichungssystem!

1I

qU

2U

1R

3I

2R 3R

2I

1U


2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen

q

10 V

U

2

2 Ω

R

1 2 ΩR

3

2 Ω

R

4

4 Ω

R

1U

2U

3U

4U

1I

3I2I

Gegeben:

1U

234U

1I

23I

2 34

2 34

2 34

2

2 Ω Ω

2 Ω Ω

12 Ω

8 Ω3

Ω2

66

R R

R R

R R

234

1,5 Ω

R

1 2 ΩR

qU

2

2 Ω

R

1U

2U

34U

1I

3I2I

34 3 4

2 Ω 4 Ω

Ω6

R R R

34

6 Ω

R

1 2 ΩR

q

10 V

U

1234U1I

1234

1 234

2 Ω 1,5 Ω

3,5 Ω

R

R R

1234 3,5 ΩR

q

10 V

U

1. Schritt:

2. Schritt: 3. Schritt:



1234U1

20 A

72,86 A

I

q

11234

10 V

3,5 Ω

1 10 A

7

22

10 A7

20 A 2,857 A

7

UI

R

1234 3,5 ΩR

q

10 V

U

1234 1234 1

203,5 Ω A

77 20

Ω A2 710 V

U R I

4. Schritt:

Natürlich gilt für die Spannung U1234

am Widerstand R1234:

234 1 234

1 1 1

22

2

3434

34

3 3 3

4 4 4

4,286 V

5,714 V

2,143 A

0,714 A

1,429 V

2,857 V

U I R

U I R

UI

R

UI

R

U I R

U I R

Durch Rückgängigmachung derSchaltungsvereinfachung ermittelt man

sämtliche Spannungen und Strömet:



AI

qU

B

iR

AI

qI

B

iGU U

1234U

1234 3,5 ΩR

q

10 V

U

A

B

Klemmenpaareinführen

Hier Spezialfall:Kurzschluss

1

20 A

72,86 A

I


2.4.4 Quellen-ErsatzzweipoleA

B

IU

Aktiver

linearer

Zweipol

AI

qU

B

iR

AI

qI

B

iGU U

Ersatzspannungs-quelle

Ersatzstrom-quelle

Hermann von Helmholtz1821-1894

Léon Charles Thévenin1857-1926

Hans Ferdinand Mayer1895-1980

Edward Lawry Norton1898-1983


2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole

AI

qU

B

iR

AI

qI

B

iGU U

Ersatzspannungsquelle[Hermann von Helmholtz, Annalen der Physik und

Chemie, Vol. 89, No. 6, 211-233, 1853] In der deutschen Literatur selten nach Helmholtz benannt!

Thévenin Equivalent Circuit /Equivalent Voltage Source

[Léon Charles Thévenin, Annales Télégraphiques, 1883]In der englischen Literatur so bezeichnet!

Ersatzstromquelle[Hans Ferdinand Mayer, Telegraphen und

Fernsprech-Technik, 1926] In der deutschen Literatur selten nach Mayer benannt!

Equivalent Current Source /Norton Equivalent Circuit

[Edward Lawry Norton, Technical Report, Bell Laboratories, USA, 1926] In der englischen Literatur so bezeichnet!






2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole

Ersatzspannungsquelle / Equivalent Voltage Source Helmholtz/ Thévenin

Ersatzstromquelle / Equivalent Current Source

Mayer / Norton





Helmholtz, H. v.: Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche. Annalen der Physik und Chemie, 89(6):211–233, 1853.

Thévenin, L. C.: Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes [Erweiterung des Ohmschen Gesetzes auf elektromotorische Schaltungen]. Annales Télégraphiques, 10:222–224, 1883.

Mayer, H. F.: Ueber das Ersatzschema der Verstärkerröhre. Telegraphen- und Fernsprech-Technik, 15:335–337, 1926.

Norton, E. L.: Design of finite networks for uniform frequency characteristic. Technical Report, Bell Laboratories, 1926.


Ende der Vorlesung

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