dr.-ing. rené marklein - get i - ws 06/07 - v 22.12.2006 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...
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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 22.12.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 22.12.2006
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 22.12.2006 2
Kraft - Elektrische Feldstärke
V
meF
Eq
eF r q E r��������������������������������������������������������
eF rE r
q
��������������������������������������������������������
Probeladung
Kraft, die aufdie Probeladungwirk!
ElektrischeFeldstärke, die von der LadungQ erzeugt wird.
Elektrische Feldstärke
Kraft
Einheit der elektrischen Feldstärke
0r r r
Probeladung
x
y
z eF r����������������������������
r
q
Ortsvektor
Q
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Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke E und Spannung U (S. 157, …)
elW q U
mech e
q E
W F s
q E s
mech el W W
q E s q U
Wenn man die Ladung q im elektrischen Feld entlang einer Feldlinie bewegt, gilt die folgendeEnergiebilanz
Änderung der elektrischen Energie, in Kap. 1.3 abgeleitet
Änderung der mechanischen Energie, Verschiebung der
Ladung q längs der Feldlinie um Δs
Energieerhaltungssatz
U E s
Durch umstellen der obigen Gleichung gilt weiter
qE��������������s
Bild 3.8. Probeladung q bewegt sich im Feld um
in Feldrichtung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 157, 2005])
E��������������
smit
Dies gilt streng genommen nur, wenn
E und Fe entlang des Weges konstant
sind, bisher differentielle Betrachtung:
0
dlim
ds
U UE
s s
Voraussetzung:
Richtung von Δs bzw. ds und Feldlinie ist gleich!
Spannung ortsabhängig?
Richtung von E?
(3.6)
UE
s
(3.7)
(3.8)
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 157-158, CW, 6. Aufl.)
mech e e ecos | | | | cos ,W F s F s F s ��������������������������������������������������������
Kraftvektor in seine Komponenten bezüglich der Richtung des Weges zerlegen:
Wird die Probeladung nicht entlang einer Feldlinie bewegt, darf nur die Kraftkomponente parallel zu Bewegungsrichtung berücksichtigt werden
eingeschlossener Winkel
e ,F s ����������������������������
Bild 3.9. Zur Energieänderung bei Bewegung der Probeladung auf beliebigem Weg (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])
eF q E����������������������������
qs
Weg
q
s
eF
��������������
tangential (längs)des Weges
orthogonal (senkrecht) zum Weg
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 157-158, CW, 6. Aufl.)
mech e
e
cos
cos ,
W F s
F s F s
��������������������������������������������������������
eF��������������
s
Dies ist das Skalarprodukt der Vektoren:
Skalarprodukt, Inneres Produkt aus der Vektoranalysis
und
emech
mech
W F s
W q E s
����������������������������
����������������������������
(gelesen: „F Punkt Delta s“)
eF q E����������������������������
q s
Weg
tangential (längs)des Weges
tE s E ����������������������������
eF s ����������������������������
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Kommentar: Schreibweise der Multiplikation und des Skalarproduktes (Einschub)
mech
mech
W F s
F q E
W F s q E s
����������������������������
����������������������������
��������������������������������������������������������
mech
mech
W F s
F qE
W F s qE s
����������������������������
����������������������������
��������������������������������������������������������
Punkt für Multiplikationvermeiden
kein Punkt!
Punkt für Skalarprodukt
Punkt für Skalarprodukt
Besser!
Es kann zu Verwechselungenkommen!
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 158, CW, 6. Aufl.)
1 21 2mech
k k
k
W q E s q E s
q E s
��������������������������������������������������������
����������������������������
Über mehrere kleinere Wegstrecken mit näherungsweise konstanter Feldstärke:
die Grenzwertbildung für differentiell kleine Strecken
überführt die Summe in ein Integral:
mech Wegd
dB
A
W q E s
q E s
����������������������������
����������������������������
0ks
Weg-, Kurven- oder Linienintegral mit Endpunkten A und B
Bild 3.9. Zur Energieänderung bei Bewegung der Probeladung auf beliebigem Weg (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])
FeldlinienE ��������������
1E��������������
2E��������������
Weg1s
2s
3E��������������
3s
A
B
(3.9)
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 158, CW, 6. Aufl.)
Weg 1: Weg 2:
d d 0B A
A B
q E s q E s ��������������������������������������������������������
Linienintegral mit Endpunkten A und B hängt allgemein vom Integrationsweg und den Endpunkten ab!
Da in der Elektrostatik bei der Bewegung der Ladung kein Energieaustausch mit Außenweltstattfindet, ist das Linienintegral in der Elektrostatik vom Integrationsweg unabhängig!
Für einen Umlauf A-B-A aus unterschiedlichem Hin- und Rückweg, also Weg 1 und Weg 2, gilt:
mech dB
AW q E s
����������������������������
Weg 1: Weg 2: Weg 3:
d d dB A B
A B A
q E s q E s q E s ������������������������������������������������������������������������������������
Das heißt, das Ergebnis der Integration ist wegunabhängig!
Bild 3.10. Zur Wegunabhängigkeit von
(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])
dB
AE s����������������������������
Weg 1: Weg 3:
d dB B
A A
q E s q E s ��������������������������������������������������������
(3.10)A
B
Weg 1
Weg 2
A
B
Weg 1
Weg 3
Integrationsgrenzenrumdrehen!
Oder umgestellt:
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(3.11)
3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)
d 0LE s ����������������������������
Ist der Integrationsweg geschlossen
geschlossener Weg Lgeschlossenes Integral
A
BWeg 1
Weg 2
Weg 1: Weg 2:
d d 0B A
A B
q E s q E s ��������������������������������������������������������
(3.10)
schreibt man
geschlossenes Wegintegral:
geschlossenerWeg L
(Umlauf A-B-A)
geschlossener Weg L (Umlauf A-B-A)wie bei der Anwendung der Umlaufanalyse
zur Netzwerkberechnung (siehe auch der Kapitel über
„Stationäre elektrische Strömungsfelder“)
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(3.11)
3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)
Merke:
Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke längs eines beliebigen geschlossenen Weges ist null!
Felder dieses Typs bezeichnet man als wirbelfrei!
In wirbelfreien Feldern ist der Wert des Linienintegrals über die Feldgröße wegunabhängig, er hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab!
d 0LE s ����������������������������
Geschlossenes Wegintegral über einen geschlossenen Weg L
Wirbelfreiheit!des elektrostatischen
Feldes!
Beispiel:Elektrische Feldstärke einer Punktladung: -> Radialfeld
Qds
E��������������
d d 0L
E s E s ��������������������������������������������������������
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Φ ist die elektrische Potenzial (Potenzialfunktion)
3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)
d d dB B B
AB
A A A
U E s A B ����������������������������
dB
A
B E s A ����������������������������
d dE s ����������������������������
Wegen der Wegunabhängigkeit wird dies Integral durch die Endpunkte bestimmt, d.h. die Werte der Funktion Φ in diesen Punkten:
bzw.
(3.13)
d dU E s
dB
AB
A
U E s
����������������������������
(mit der Einschränkung: entlang Feldlinie)
Verallgemeinerung:
d d dU E s U E s ��������������������������������������������������������
Oben galt bisher:
Minuszeichen wurde willkürlich so gewählt, dass positive Ladungen mit einem höheren Potenzial eine größere potenzielle Energie besitzen. Oder anders ausgedrückt: Der Feldstärkevektor ist vom hohen zum niedrigen Potenzial gerichtet!
(3.12)
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)
0
0
0 0
0 0
0 0
d
d d
d d
d d
d d
( ) ( )
B
AB
A
B
A
A B
A B
A B
U E s
E s E s
E s E s
A B
����������������������������
��������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
-> Spannung ist Potenzialdifferenz!
( ) ( )ABU A B
0
Integrationsweg: A → 0 → B
0
Ort : ( )A A
Ort : ( )B B
Ort : ( )A A
Ort : ( )B B
0 ( )AU A0
( )BU
B
0 0
0 0
( ) ( )AB
A B
A B
U A B
U U
U U
ABU
0
( )BU
B
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3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)
6G
3G
4G 5G
2G
BA C
1
A0
U
U
2
B0
U
U
3
C0
U
U
D
Ort : ( )B BOrt : ( )A A Ort : ( )C C
Ort : ( ) 0 VD D
1G
1 A0
2 B0
3 C0
( ) ( ) ( ) 0 V ( )
( ) ( ) ( ) 0 V ( )
( ) ( ) ( ) 0 V ( )
U U A D A A
U U B D B B
U U C D C C
ABU BCU
AB
BC
( ) ( )
( ) ( )
U A B
U B C
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Elektrische Spannung U - Größenordnungen
1 V 10 mV
1 nV
1 mV
0,5 V ... 20 V, 100 V 1 kV
1,5 V
6 V 24 V
24 V (maximal)
100 V / 220 V
3 kV ... 25 kV
10 kV ... 500 kV
100 MV
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Radio / TV Eingangsempfangsspannung
kleinste Messwerte elektronischer Messgeräte
Spannung zwischen Hand und Herz
Halbleiter
Trockenbatterie
Autobatterie
Allgemeine Stromversorgung
Bahnnetz
Hochspannungsversorgung
Blitz
Spielzeug
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Ende der Vorlesung