dr.-ing. r. marklein - get i - ws 06/07 - v 24.11.2006 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 24.11.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


2.7 Stern-Dreieck-Transformation

Allgemein möglich:

Umwandlung von Vieleckschaltungen: Polygone in Sterne und umgekehrt

10R

20R

30R

40R

4 2

1

3

4 2

1

3

0

12R

23R34R

41R

13R

24R

Bild 2.70. Vierersterin und Viereck aus Ohmschen Widerständen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 79, 2005])


2.7 Stern-Dreieck-Transformation

10 20 12 23 31R R R R R

12 23 31 12 23 3110 20 12 23 31

12 23 31

R R R R R RR R R R R

R R R R

12 23 31R R R R 23 31 12 23 31 1220 30 23 31 12

12 23 31


R R R R

31 12 23 31 12 2330 10 31 12 23

12 23 31


R R R R

Praktische Bedeutung hat Umwandlung Dreieck/Dreierstern:

mit der Abkürzung

2

1

3

10R

20R

30R

12R

23R

31R

2

1

3

Bild 2.71. (Dreier-)Stern und Dreieck-Schaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 80, 2005])

Zum Beispiel, gleiches Verhalten zwischen den Klemmen 1 und 2 fordert: (rechts)(links)

(2.88a)

(2.88b)

(2.88c)

(2.88d)

0


2.7.1 Umwandlung Dreieck in Stern

10 20 20 30 30 10 12 23 12 31 23 31 23 12 31 12 31 23R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

10 12 312 2R R R R

12 31 12 3110

12 23 31

R R R RR

R R R R

12 23 31 12 23 31 12 3120 10

R R R R R R R RR R

R R R

12 2320

12 23 31

R RR

R R R

31 12 23 31 12 23 12 3130 10

R R R R R R R RR R

R R R

23 3130

12 23 31

R RR

R R R

(2.90a)

Einsetzen in Gl. (2.88a):

(2.90b)

Gl. (2.88a) in Gl. (2.88c) einsetzen:

(2.90c)

Die Linearkombination Gl. (2.88a) + Gl. (2.88c) – Gl. (2.88b):


2.7.1 Umwandlung Dreieck in Stern

Produkt der AnliegerwiderständeSternwiderstand

Umfangswiderstand

Allgemein formuliert:

2

1

3

10R

20R

30R

12R

23R

31R

2

1

3

Umfangswiderstand

Anliegerwiderstände

Sternwiderstand

0

12 3110

12 23 31

12 2320

12 23 31

23 3130

12 23 31

R RR

R R R

R RR

R R R

R RR

R R R

(2.90a)

(2.90b)

(2.90c)


2.7.2 Umwandlung Stern in Dreieck

12 3112 23 31

10

12 2312 23 31

20

23 3112 23 31

30

R RR R R

R

R RR R R

R

R RR R R

R

12 31 12 23 12 31 20 2023 31

10 20 10 12 10

R R R R R R R RR R

R R R R R

12 23 23 31 23 31 20 2012 31

20 30 30 23 30

R R R R R R R RR R

R R R R R

(2.91b)

(2.91c)

Linke Seiten von Gl. (2.91a) und Gl. (291.b) gleichsetzen:

Ebenso Gl. (2.91b) mit Gl. (2.91.c):

Aus den Gln. (2.90a)-(2.90c) (jeweils Nenner rechts mit linker Seite vertauschen):

(2.91a)

(2.92)

(2.93)

12 31 20 2031 31 31

10 30 10

R R R RR R R

R R R

Gl. (2.92) und Gl. (2.93) in Gl. (2.91a) einsetzen:

(2.94)



10 20 20 30 30 1012

30

R R R R R RR

R

Produkt der AnliegerwiderständeDreieckswiderstand Summe der Anliegerwiderstände

gegenüberliegender Widerstand

(2.96)


12 31 20 2031 31 31

10 30 10

12 20 20

10 30 10

10 2012 20 10

30

1

R R R RR R R

R R R

R R R

R R R

R RR R R

R

(2.94)

(2.95)

2

1

3

10R

20R

30R

12R

23R

31R

2

1

3

DreieckswiderstandAnliegerwiderstände

gegenüberliegender

Widerstand0



10 20 3030

12 10 20 20 30 30 10 10 20

1 1 1 1 G G GG

G G G G G G G G G

10 2012

10 20 30

20 3023

10 20 30

30 1031

10 20 30

G GG

G G G

G GG

G G G

G GG

G G G

Produkt der AnliegerleitwerteDreiecksleitwert

Knotenleitwert

Gl. (2.96) in Leitwertform:

(2.97a)

(2.97b)

(2.97c)


12 10 20 20 30 30 1030

1R R R R R R R

R (2.96)


2.7.1/2 Umwandlung Dreieck in Stern und Stern in Dreieck

12 3110

12 23 31

12 2320

12 23 31

23 3130

12 23 31

R RR

R R R

R RR

R R R

R RR

R R R

Produkt der AnliegerwiderständeSternwiderstand

Umfangswiderstand

(2.90a)

(2.90b)

(2.90c)

2

1

3

1010

1R

G

2020

1R

G

3030

1R

G

1212

1G

R

2323

1G

R

3131

1G

R

2

1

3

0

10 2012

10 20 30

20 3023

10 20 30

30 1031

10 20 30

G GG

G G G

G GG

G G G

G GG

G G G

Produkt der AnliegerleitwerteDreiecksleitwert

Knotenleitwert

(2.97a)

(2.97b)

(2.97c)


2.7.3 Vor- und Nachteile der Netzumwandlung

3 Maschen7 Knoten

Umwandlung sinnvoll, wenn neue Topologie leichter berechenbar, sich z.B. einfache Reihen- und Parallelschaltung durch die Umwandlung ergibt.

Nachteil: verschiedene Ströme (hier I1, I2, I4) nicht mehr direkt zugänglich!

Bild 2.72. Netzumwandlung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 82, 2005])

4 Maschen6 Knoten + +

Bild 2.73. Dreieck-Stern-Transformation eines einfachenNetzes (Reduktion von 3 auf 2 Maschen) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005])

1I 4I

5I3I

6I2I

5I3I

6I


Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung

Lösung:

Gegeben:

Bild 2.74. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005])

Bild 2.75. Brückenschaltung nach Dreieck-Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 84, 2005])

4 Ω

1

b

4 Ω

20 Ω

20 Ω

20 Ω

20 Ω 4 Ω

3 2

a

b

a

1

3 2

10R

20R30R0Dreieck-Stern-

Transformation4 Ω

1

b

4 Ω

20 Ω

20 Ω

20 Ω

3 2

a


Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung

12 3110

12 23 31

12 2320

12 23 31

23 3130

12 23 31

20 4 80 20Ω Ω Ω

20 20 4 44 11

20 20 100Ω Ω

44 11

20 4 20Ω Ω

44 11

R RR

R R R

R RR

R R R

R RR

R R R

b-0

20 10020 4

240 144 9011 11 Ω Ω Ω20 100 11 384 1120 411 11

R

a-b b-0 10

90 20 Ω Ω 10 Ω

11 11R R R

Zusammenfassung der unteren vier Widerstände:

Gesamtwiderstand aus Reihenschaltung:

Bild 2.75. Brückenschaltung nach Dreieck-Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

20 Ω 4 Ω

b

a1

3 2

10R

20R0

(2.98)

0-bRa-bR30R


A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

2.8 Umlauf- und Knotenanalyse linearer Netze2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit

R1 1 1

R6 6 6

U R I

U R I

Zusammenhang Spannung/Strom überOhmsches Gesetz:

1 4 6

2 4 5

3 5 6

1 2 3

0

I I I

I I I

I I I

I I I

Kirchhoffsche Knotengleichungen für Knoten KA bis KD:

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)

(2.101d)

(KD ist auch die Summe von KA + KB + KC,

also linear abhängig! )

KA:

KB:

KC:

KD:

(2.100a)

⋮

(2.100f)

Definition: (Maschen)

Maschen M sind Umläufe, die im Innern keine

Zweige enthalten.

AK

BK

CK

DK


A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6

4

5


2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit

1 4 6

2 4 5

3 5 6

1 2 3

0

I I I

I I I

I I I

I I I

Kirchhoffsche Knotengleichungen

für die k = 4 Knoten A bis D:

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)

(2.101d)

In einem Netz mit

K Knoten können

K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen

aufgestellt werden.

In diesem Netzwerk mit K = 4 Knoten können

K - 1 = 3 linear unabhängige

Knotengleichungen aufgestellt werden.

Im allgemeinen gilt:

AK

BK

CK

DK

KA:

KB:

KC:

KD:

(KD ist auch die Summe von KA + KB + KC,

also linear abhängig! )



6 1 2 5 0I I I I

Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes:

Zweig A-B als Knoten:

Bild 2.77. Großknoten in dem Netz aus Bild 2.76(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 85, 2005])

A

B

6I

1I

5I

4R

2I

Zweig A-B als Knoten

AB 1 2 6 5: K I I I I

Umgestellt gilt

zu-fließend

abfließend

AK

BK

ABK

ABK



1 3 5 4

2 3 4 6

2 3 4 6

1 3 5 4

1 2 6 5

1 2 3 0

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

I I I

Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes:

Zweig A-C als Knoten KAC:

Zweig A-D als Knoten KAD:

Zweig B-C als Knoten KBC:

Zweig B-D als Knoten KBD:

Zweig C-D als Knoten KCD:

Zweig A-B-C als Knoten KABC:usw.

In einem Netz mit

K Knoten können

K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen

aufgestellt werden.

Analog folgen:


A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6

4

5


AK

BK

CK

DK



R1 R 2 R 4

R 2 R3 R5

R1 R3 R6 Q6

0

0

U U U

U U U

U U U U

R1 R3 R 4 R5 0U U U U

Umlaufgleichung auf die drei Maschen M4, M5, M6:

Andere Möglichkeit: Umlauf A-B-C-D-Ad.h. Umlauf 7 ( ):

In einem Netz mit M Maschen können

M linear unabhängige Maschengleichungen

aufgestellt werden.

(2.102d)

(2.102a)

(2.102b)

(2.102c)

M4 ↻:

M5 ↻:

M6 ↻:

linear abhängig, da Addition von Gl. (2.102a) und Gl. (2.102b) die Gl. (2.102d) ergibt!


A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M


In diesem Netzwerk mit M = 3 Maschen können

M = 3 linear unabhängige Maschengleichungen

aufgestellt werden.

7U

U7 ↻:

AK

BK

CK

DK



1 4 6

2 4 5

3 5 6

I I I

I I I

I I I

1 2 4

2 3 5

1 3 6 Q6

0

0R R R

R R R

R R R

U U U

U U U

U U U U

1 1 1

6 6 6

R

R

U R I

U R I

Für das Beispiel Bild 2.76 existieren 12 linear unabhängige Gleichungen:

3 Maschengleichungen für M = 3 Maschen

6 Strom-/Spannungsbeziehungen

zur Bestimmung der 12 unbekannten Ströme und Spannungen.

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)

3 = K - 1 Knotengleichungen für K = 4 Knoten führen auf

(2.102a)

(2.102b)

(2.102c)

(2.100a)...

(2.100f)

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6

4

5


AK

BK

CK

DK6M

4M

5M

Masche M4 ↻:

Masche M5 ↻:

Masche M6 ↻:

Knoten KA:

Knoten KB:

Knoten KC:



1 1 2 2 4 4

2 2 3 3 5 5

1 1 3 3 6 6 Q6

0

0

R I R I R I

R I R I R I

R I R I R I U

1 2 3, ,I I I

1 4 6 2 4 5 4 4

2 4 5 3 5 6 5 5

1 4 6 3 5 6 6 6 Q6

0

0

R I I R I I R I

R I I R I I R I

R I I R I I R I U

Vorgehen: Spannungen in den Gln. (2.102a)-(2.102c) durch Ströme über das Ohmsche Gesetz, die letzten 6 Gleichungen, ersetzen

Elimination von der drei Srröme

über die drei Knotengleichungen (2.101a), (2.101b) und (2.101c):

Nach Umsortierung ergeben sich die drei folgenden Gleichungen

1 1 6 2 4 2 5 4 44

2 4 2 5 3 5 3 6 5 5

1 4 1 6 3 5 3 6 6 6 Q6

0

0

R R I R I R I R II

R I R I R I R I R I

R I R I R I R I R I U

1 2 4

2 3 5

1 3 6 Q6

0

0R R R

R R R

R R R

U U U

U U U

U U U U

(2.102a)

(2.102b)

(2.102c)

1 1 1

6 6 6

R

R

U R I

U R I

(2.100a)...

(2.100f)

1 4 6

2 4 5

3 5 6

I I I

I I I

I I I

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)



1 2 4 2 1 4

2 2 3 5 3 5

1 3 1 3 6 6 Q6

0

0

R R R R R I

R R R R R I

R R R R R I U

Die letzten drei Gleichungen können dann in die folgende Matrixform gebracht werden

(2.104d)

1 4 1 6 2 4 2 5 4 4

2 4 2 5 3 5 3 6 5 5

1 4 1 6 3 5 3 6 6 6 Q6

0

0

R I R I R I R I R I

R I R I R I R I R I


1 1 6 2 4 2 5 4 44

2 4 2 5 3 5 3 6 5 5

1 4 1 6 3 5 3 6 6 6 Q6

0

0

R R I R I R I R II

R I R I R I R I R I


4 2 5 1 61 2 4

2 4 2 3 5 5 3 6

1 4 3 5 1 3 6 6 Q6

0

0

I R I R IR R R

R I R R R I R I

R I R I R R R I U

Nach dem Ausmultiplizieren der einzelnen Termin

und dem Sortieren der einzelnen Ströme folgt

(2.104a)

(2.104b)

(2.104c)

algebraischeMatrixgleichung



(2.104d)

Algebraische Matrixgleichung

1 2 4 2 1 4

2 2 3 5 3 5

Q61 3 1 3 6 6

0

0

R R R R R I

R R R R R I

UR R R R R I

I UR

1 2 4 2 1

2 2 3 5 3

1 3 1 3 6

4

5

6

Q6

Widerstandsmatrix

hier: symmetrische

3 3-Matrix

Stromvektor

hier: Spaltenvektor

der Länge 3

0 Spannungsvektor

0 hier:

R R R R R

R R R R R

R R R R R

I

I

I

U

R

I

U Spaltenvektor

der Länge 3



1 2 4 2 1 4

2 2 3 5 3 5

Q61 3 1 3 6 6

0

0

R R R R R I

R R R R R I

UR R R R R I

I UR

Lösung der Matrixgleichung mit Hilfe der Cramerschen Regel und Determinantenrechnung

(2.104d)

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

=

R R R I U

R R R I U

R R R I U

I UR

UR I

1 = UI R

Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung

Inverse Matrix

Lösungswege:

1. Berechnung der inversen Matrix über die Bestimmung der Adjungierten und der Determinante 2. Cramersche Regel / Determinantenrechnung / Regel von Saurrus/ Laplacescher Entwicklungssatz3. Gaußscher Eliminationsverfahren (Gaußscher Algorithmus )



11 12 13

21 22 23

31 32 33

det{ }

R R R

D R R R

R R R

R

1 12 13 11 1 13 11 12 1

1 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 32 3

; ;

U R R R U R R R U

D U R R D R U R D R R U

U R R R U R R R U

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

=

R R R I U

R R R I U

R R R I U

I UR

UR I

Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung über die Determinantenrechnung und die Cramerschen Regel

1 2 31 2 3; ;

D D DI I I

D D D

Gabriel Cramer (* 31. Juli 1704 in Genf, Schweiz, † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, Frankreich) war ein Schweizer Mathematiker.

Lösung der Matrixgleichung über die Cramersche Regelunter der Bedingung det 0, d.h. ist regulärD R R

Bemerkung: Mit det 0, wäre die

Matrix singulär und die Cramersche Regel

wäre nicht anwendbar!

D R

R

1 2 3

: Determinante von

, , : Diese Determinanten entstehen, wenn man die Spalte1,2,3

der Matrix durch den Spannungsvektor , der Vektor auf

der rechten Seite, austauscht.

D R

D D D i

U

R


Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

1 2 3

4 5 6

Q6

3Ω, 1Ω, 2Ω

1Ω, 5Ω, 1Ω

10V

R R R

R R R

U

4 5 6

4 5 6

4 5 6

5 Ω 1 Ω 3 Ω 0

1 Ω 8 Ω 2 Ω 0

3 Ω 2 Ω 6 Ω 10 V

I I I

I I I

I I I

Netzwerk nach Bild 2.76 mit obigen Gln.

Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen

Lösung:

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6

4

5 Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

AK

BK

CK

DK6M

4M

5M

4 2 5 1 61 2 4

2 4 2 3 5 5 3 6

1 4 3 5 1 3 6 6 Q6

0

0

I R I R IR R R

R I R R R I R I

R I R I R R R I U



4 5 6

4 5 6

4 6

12 8 24 40A

( ) 8 2 0

( ) 13 22 40A

I I I

I I I

I I

4 6

4 6

6

39 66 120A

( ) 39 26 0

( ) 40 120A

I I

I I

I

4 6 439 26 26 3A 2I I I A

5 4 6 55 3 10A 9A 1A 1AI I I I ((c)*4+(b)):

Jetzt 2 Gln. mit 2 Unbekannten, 3 * Gl. (2.106b) + Gl. (2.106a)

Rückwärts einsetzen. mit Gl. (2.106a) folgt

Aus (2.105a):

6 3AI

(2.106b)

(2.106a)

(2.106b)

4 5 6

4 5 6

4 6

40 8 24 0

8 2 0

39 26 0

I I I

I I I

I I

und dann I5 eliminieren (Gl. (2.105a)*8 + Gl. (2.105b)):

(2.106a)

4 5 6

4 5 6

4 5 6

5 Ω 1 Ω 3 Ω 0

1 Ω 8 Ω 2 Ω 0

3 Ω 2 Ω 6 Ω 10 V

I I I

I I I

I I I

Einheiten kürzen, d.h. alle Gleichungen durch Ω teilen:

4 5 6

4 5 6

4 5 6

5 3 0

8 2 0

3 2 6 10 A

I I I

I I I

I I I

(2.105a)

(2.105b)

(2.105c)



1 4 6 1

2 4 5 2

3 3 6 3

2A 3A 1A 1A

2A 1A 1A 1A

1A 3A 2A 2A

I I I I

I I I I

I I I I

Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen:

1 4 6

2 4 5

3 5 6

I I I

I I I

I I I

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)

A

B

C

D

6 3 AI

R6U

Q6U

6R

4 2 AI

4R

5R

5 1 AI

2 1 AI

4


R1U

R3U

1R

1 1 AI

R4U

R2U

R5U3R

3 2 AI

2R

4 5 62 A; 1 A; 3AI I I



4 5 6

4 5 6

4 5 6

5 Ω 1 Ω 3 Ω 0

1 Ω 8 Ω 2 Ω 0

3 Ω 2 Ω 6 Ω 10 V

I I I

I I I

I I I

Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen

Lösung gilt für die Lösung mit Hilfe der Cramerschen und Sarrusschen Regel:

4

5

6

I UR

5 Ω 1 Ω 3 Ω 0

1 Ω 8 Ω 2 Ω = 0 UR I3 Ω 2 Ω 6 Ω 10 V

I

I

I

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det{ }

R R R

D R R R

R R R

R

1 12 13 11 1 13 11 12 1

1 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 32 3

; ;

U R R R U R R R U

D U R R D R U R D R R U

U R R R U R R R U

1 2 34 5 6; ;

D D DI I I

D D D mit

1 2 3

: Determinante von

, , : Diese Determinanten entstehen, wenn wir die

Spalte der -Matrix durch den 1,2,3

Spannungsvektor , der Vektor auf der rechten

Seite austauschen

D

D D D

i

R

R

U

Die unbekannten Ströme I4, I5 und I6 folgenden über



5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω

1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω

5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω 5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω

1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω 1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω 3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω

D

Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus

5 Ω 1 Ω 3 Ω

det 1 Ω 8 Ω 2 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω

5 Ω 1 Ω 3 Ω

1 Ω 8 Ω 2 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω

D

1. und 2. Spaltenvektor zurHilfe rechts anfügen

i

i i

a b c a b

D d e f d e

g h i g h

a b c a b

d e f d e

g h g h

a b c a b a b c a b

d e f d e d e f d e

g h g h g h g h

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)



3240 Ω

5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω

1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω

5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω 5 Ω 1 Ω 3 Ω 5 Ω 1 Ω

1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω 1 Ω 8 Ω 2 Ω 1 Ω 8 Ω

3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω 3 Ω 2 Ω 6 Ω 3 Ω 2 Ω

5 Ω 8 Ω 6 Ω

D

3 3

3 3 3

6 Ω 6 Ω

72 Ω 20 Ω 6 Ω

3 3 3 3 3

1 Ω 2 Ω 3 Ω 3 Ω 1 Ω 2 Ω

3 Ω 8 Ω 3 Ω 2 Ω 2 Ω 5 Ω 6 Ω 1 Ω 1 Ω

240 Ω 6 Ω 6 Ω 72 Ω 20 Ω 6

3

3

110 Ω

3

Ω

130 ΩD

Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)



2

2 2

2

1 12 13

1 2 22 23

3 32 33

0 VΩ20 VΩ 0 VΩ

240 VΩ

0 V 1 Ω 3 Ω

0 V 8 Ω 2 Ω

10 V 2 Ω 6 Ω

0 V 8 Ω 6 Ω 1 Ω 2 Ω 10 V 3 Ω 0 V 2 Ω

10 V 8 Ω 3 Ω 2 Ω 2 Ω 0

U R R

D U R R

U R R

2 20 VΩ 0 VΩ

2 2

21

V 6 Ω 0 V 1 Ω

20 VΩ 240 VΩ

260 VΩD

21

4 3

260 VΩ V V2 2 2 A

130 Ω Ω V/A

DI

D



2

2 2

2

11 1 13

2 21 2 23

31 3 33

0 VΩ0 VΩ 30 VΩ

0 VΩ 1

5 Ω 0 V 3 Ω

1 Ω 0 V 2 Ω

3 Ω 10 V 6 Ω

8 Ω 0 V 6 Ω 0 V 2 Ω 3 Ω 3 Ω 1 Ω 10 V

3 Ω 0 V 3 Ω 10 V 2 Ω 5 Ω

R U R

D R U R

R U R

2 200 VΩ 0 VΩ

2 2

22

6 Ω 1 Ω 0 V

30 VΩ 100 VΩ

130 VΩD

22

5 3

130 VΩ V V1 1 1 A

130 Ω Ω V/A

DI

D



2 2 2

2

11 12 1

3 21 22 2

31 32 3

400 VΩ 0 VΩ 30 VΩ

0 VΩ 0 VΩ

5 Ω 1 Ω 0 V

1 Ω 8 Ω 0 V

3 Ω 2 Ω 10 V

5 Ω 8 Ω 10 V 1 V 0 V 3 Ω 0 V 1 Ω 2 Ω

3 Ω 8 Ω 0 V 3 Ω 8 Ω 0 V

R R U

D R R U

R R U

2 210 VΩ

2 2

23

10 V 1 Ω 1 Ω

400 VΩ 10 VΩ

390 VΩD

23

6 3

390 VΩ V V3 3 3 A

130 Ω Ω V/A

DI

D



1 4 6 1

2 4 5 2

3 3 6 3

2A 3A 1A 1A

2A 1A 1A 1A

1A 3A 2A 2A

I I I I

I I I I

I I I I

Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen:

1 4 6

2 4 5

3 5 6

I I I

I I I

I I I

(2.101a)

(2.101b)

(2.101c)

A

B

C

D

6 3 AI

R6U

Q6U

6R

4 2 AI

4R

5R

5 1 AI

2 1 AI

4


R1U

R3U

1R

1 1 AI

R4U

R2U

R5U3R

3 2 AI

2R

4 5 62 A; 1 A; 3AI I I


Ende der Vorlesung

dr.-ing. r. marklein - get i - ws 06/07 - v 24.11.2006 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...

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