dr.-ing. rené marklein - get i - ws 06/07 - v 02.02.2007 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 02.02.2007 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 02.02.2007

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


3.8 Energie und Kräfte (S. 178, CW, 9. Aufl.) 3.8.1 Elektrische Energie und Energiedichte

e

0

( ) ( ) dt

W u t i t t

d ( )( ) ( ) d d

d

Q ti t i t t Q

t

e

0

deQ

Q

W u Q

Elektrische Energie We in einem Kondensator nach dem Aufladen

Mit

lässt sich dies bei unbekanntem Zeitverlauf des Stromes schreiben als

(3.41)

mit der Ladung Qe am Ende des Ladevorgangs.

Elektrische Energie:

e ( ) ( ) d V A s W sW u t i t t

( )i t

( )u t

+dQ ds

E++++++++++++++


(3.42)

3.8.1 Elektrische Energie und Energiedichte

u E d und wegen d dQ A D Q A D Im Fall des Plattenkondensators mit der Fläche A und dem Plattenabstand d gilt

e e e

e

0 0 0 0

d d d deQ D D D

Q D D D

W u Q A d E D A d E D V E D

e

ee

0

dD

D

Ww E D

V

Elektrische Energiedichte im Volumen Vdes Kondensators

(3.43)

e

e

0

dD

D

W V E D

Elektrische Energie im Volumen Vdes Kondensators

Bemerkung: Das Bild zeigt eine nichtlineare

Permittivität!

eD

D E E E

D E

E

Bild 3.31. Zur Veranschaulichung des Integrals

(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.31, S. 185)

e

e

0

dD

D

w E D

dD

dE D

0

D E


3.8.1 Elektrische Energie und Energiedichte (S. 178, CW, 9. Aufl.)

konst.D

E

e 2

ee

0

1d

2

D

D

D Dw D

22

e

1 1 1

2 2 2

Dw E D E

Bei konstanter Permittivität folgt:

gilt auch allgemein für inhomogene Felder

d dQ C U

2e

0 0

1d d

2

eQ U

Q u

W u Q C u u C U

22

e

1 1 1

2 2 2

QW C U Q U

C

Es ist

(3.46)Elektrische Energie

Elektrische Energiedichte

Träger der Energie ist das Feld!

(3.45)

(3.44)


Beispiel 3.11 Energieverlust beim Parallelschalten geladener Plattenkondensator (S. 185, CW, 9. Aufl.)

2 21 2

11 2

1 1

2 2

Q QW

C C

2

1 22

1 2

1

2

Q QW

C C

2

1 2 2 11 2

1 2 1 22

Q C Q CW W

C C C C

Zwei Kondensatoren C1 und C2 mit den Ladungen Q1 und Q2 werden parallel geschaltet.

Welchen Energieinhalt haben sie vor und nach der Verschaltung?

Lösung:Energie vor dem Parallelschalten

nach dem Parallelschalten

da die Ladung erhalten bleibt (keine leitende Verbindung, über die sie abfließen könnte)Verlust

wird beim Umladen in den Zuleitungen in Wärme umgesetzt bzw. bei sehr schnellen Vorgängen abgestrahlt


3.8.1 Kräfte im elektrostatischen Feld Anwendungsbeispiele – MEMS: Micro-Electro-Mechanical System

Linearer elektrischer Motor (LEM)

Einstellbarer MEMS-Kondensator

MEMS (Micro-Electro-Mechanical System) ist die Kombination aus mechanischen Elementen, Sensoren, Aktoren und elektronischen Schaltungen auf einem Substrat bzw. Chip

Kapazitätsberechnung eines Kamm-Antriebes



Mikromechanische Sensoren im KFZ-Bereich

Bild: Durch selektives Ätzen nach einem Standard-IC-Lithografieprozess entstehen in einem MEMS feste und freibewegliche dreidimensionale Strukturen. (Quelle: AD)

Bild: Kammstruktur eines oberflächenmikromechanischen

Beschleunigungssensors.(Quelle: Bosch) Bild: Drehratensensor mit integrierter Verarbeitungselektronik.

Die Sensorstruktur wird im selben Halbleiterprozess wie die Weiterverarbeitungselektronik hergestellt. (Quelle: AD)



Mikromechanische Sensoren im KFZ-Bereich

Bild: Funktionsprinzip eines oberflächenmikromechanischen

Drehratensensors. (Quelle: Bosch)

Bild: In Anti-Diebstahlsystemen kommen Beschleunigungssensoren zum Einsatz, die sehr kleine Neigungswinkel erfassen


3.8.1 Kräfte im elektrostatischen Feld

Prinzip der virtuellen Verschiebung

d

Q Q

xF xFkonst.Q

G

dx

xdx

ges e m

e m

d d

d d

0

W W W

W W

md dxW F x

( )ed

d

Q

x

WF

x

Änderung der Gesamtenergie überEnergiebilanz

wobei

mit konstanter Ladung Q (Kondensator elektrisch isoliert!)

e md dW W

Bild 3.32 Zur Herleitung der Kraft mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebung bei Q = konst.

e md d

dx

W W

F x

ed

dx

WF

x

(3.47)

d.h

oder


(3.49)

( )ed

d

Q

x

WF

x

Geometrische Größen in Ausdruckfür elektrische Energie einführen:

22( )

e

1

2 ( ) 2Q Q d xQ

WC x A

2( )

2 2

d d

d d 2

( 1)

2 2

Qe

x

Q d xWF

x x A

Q Q

A A

Q D A2

2x

D AF

mit wird daraus


d

Q Q

xF xFkonst.Q

G

dx

xdx

Bild 3.32 Zur Herleitung der Kraft mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebung bei Q = konst.

( )A

C xd x

2

2x

QF

A


(3.48)


Bild 3.33 Zur Herleitung der Kraft mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebung bei U = konst.

d

U konst

G

dx

xdx

U

ges e m B

e m B

d d

d d d 0

W W W W

W W W

m

2 2e

2

d d

1 1d d d

2 2

d d d d d

x

B

W F x

W C U U C

W U i t U Q U C U U C

21d d 0

2xF x U C

( )ed

d

U

x

WF

x

Energiebilanz ist anders, wenn Kondensatoran einer Spannungsquelle hängt:-> Energieaustausch mit Spannungsquelle möglich!

wobei

denn U = konst.

Bilanz ergibt

(also anderes Vorzeichen, zeigt wie entscheidend die richtige Bilanzierung ist!)

bei konstanter Spannung

( )di t t




d

U konst

G

dx

xdx

U

( )di t t

( )A

C xd x

( ) 2e

2

2

1

21

2

1

2

UW C U

AU

d x

AU

d x

( )e

2

21

22

d

d

d 1

2 d

d

2 d

( 1) ( 1)2

U

x

WF

x

U A

x d x

U Ad x

x

U Ad x

Geometrische Größen in den Ausdruck fürdie elektrische Energie einführen:

2

22

x

U AF

d x

Damit folgt für die Kraft:




d

U konst

G

dx

xdx

U

0x

UE

d

2 2

2 2 2x

E A D E A D AF

xF

A

221 1 1

2 2 2

DE D E

Im Ruhezustand: Plattenabstand = d

dabei ist die Feldstärke also

-> gleiches Ergebnis wie bei konstanter Ladung!

ist die Kraftdichte pro Fläche (mechanische Spannung)

(3.51)

2 2

Newton N

m mxF

A

( )Q konst

Kraft pro Fläche

2

22x

U AF

d

(3.50)

( )di t t



221 1 1

2 2 2

DE D E

Vergleich: elektrische Energiedichte Kraft pro Fläche

22

e

1 1 1

2 2 2

Dw E D E

ew gilt für eine beliebig geformte Leiteroberfläche

Plattenkondensator: Kraft auf Platten

21

21

2

1

2

x

x

QE

A DF

DA D

F Q E

Q D A

DE

Punktladung: Kraft auf Ladung q

( )f

F q E

q E

1Unterschied: Faktor

2Fremdfeld vom Q erzeugt, nicht von der Ladung q erzeugt!Eigenfeld, von den Ladungen

auf den Platten erzeugt!

Kraft auf Platten des Plattenkondensator

0( )

24

f Q rE

r

++++++++++++++

Q

F++++++++++++++

q( )fE++++++++++++++



1. Betrachte Anordnung aus linker Kondensatorplatte (1) und einem kleinen, fast

punktförmigen Flächenelement der rechten Platte (2) mit der LadungA Q

( )fF Q E Fremdfeld, welches von der Ladung auf der linken Platte hervorgerufen wird.

(1) (2) (1) (2) (1) (2)

A

Bild 3.34. Zur Berechnung der Kraft zwischen den Platten eines Plattenkondensators mit Gl. (3.65)(vgl. Bild 3.34. in Clausert & Wiesemann [2005])

( )fE

Kraft auf das Flächenelement

2. Fremdfeld berechnen: E-Feld des Plattenkondensators

( )

2f Q

EA

Kraft auf Platten des Plattenkondensators

( ) ( )1

2 2f fQ Q

D EA A

Nur das Feld derrechten Platte

0E 0E



( )

2f Q

F Q E QA

Damit wirkt auf ein Flächenelement der rechten Platte die KraftA

2

2

QF

A

und auf die ganze Platte

Kraft auf Platten des Plattenkondensators

Effekt: Kraft ist hörbar! Kraft führt beim Einschalten zum Knacken von Elektrolytkondensatoren hoher Kapazität!

Q D AQ D A E A

D E

1

2 2 2 2

Q Q QF Q E A E Q E

A A


Beispiel 3.12 Kraft zwischen zwei Linienladungen

Gesucht: Kraft zwischen zwei sehr langen Linienladungen λ1 und λ2 im Abstand d

( ) ( ) 21 2 2

1 mit =

2f fF l E E

d

Lösung:

( )fF Q E

1Q l Fremdfeld

Kraft pro Länge:

1 2 1

2

FF

l d

d

1

2



Anwendungen: 1. Elektrostatische Kopfhörer 2. Elektrostatische Lautsprecher usw.

Heimkinosystem FLAT 5.2 CINEMAder Firma DIS-Elektrostaten:

Prinzip:

Elektrostatische Lautsprecher

Höhe, Breite, Tiefe: 195 cm, 33 cm bzw. 48 cm, 5 cmFrequenzgang : 20 Hz -22 kHzImpedanz : 4 Ohm (min. 1 Ohm bei 8 kHz)


3.9. Bedingungen an Grenzflächen

D++++++++++++++

E++++++++++++++

1 2, Wie verhalten sich die Feldgrößen und an der Grenzfläche zwischen zwei Materialien mit

?unterschiedlichen Permittivitäten

2tD

1tD

2D++++++++++++++

1D++++++++++++++

n

Normaleinheitsvektor : , 1n n

Material (2)

Material (1)

1 11 1nn nD n D D D n +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++

2A++++++++++++++

1A++++++++++++++

1 2A A A ++++++++++++++++++++++++++++

2

1

2 22 2n n nD D n D n D ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

0h

Stetigkeitsbedingung für : dA

D D A++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Gaußschen Satz auf flaches Volumen (Zylinder, Pillendose) an Grenzfläche anwenden

Bild 3.35. Zur Herleitung der Stetigkeit der Normalkomponente von D(vgl. Bild 3.35. in Clausert & Wiesemann [2005])



2 2 1 1Mantel

Deckel in Boden inMaterial 2 Material 1 0, für 0

d Δ Δ d 0A

h

D A D A D A D A

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2

1

A n A

A n A

++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++

2 1

2 1

0

0n n

n n

D D A

D D

2 1n nD D (3.52)

Normalkomponenten von

D im Material 2 und Material 1

Normalkomponentenvon D sind stetig!

2 1,n nD D

2 2 1 1

2 1

2 1

2 1

ΔΔd Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ

0

A

n n

n n

n An AD A D A D A

D n A D n A

D A D A

D D

++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++



2tE

1tE

2E++++++++++++++

1E++++++++++++++

t

Tangentialeinheitsvektor : , 1t t

Material (2)

Material (1)

1 11 1nn nE n E E E n +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++

1 2s s s

2

1

2 22 2n n nE E n E n E ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

0h 2s

1s

Stetigkeitsbedingung für : dL

E E s++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Wegintegral über einen kleinen Rahmen durch die Grenzfläche auswerten

Bild 3.36. Zur Herleitung der Stetigkeit der Tangentialkomponente von E(vgl. Bild 3.36. in Clausert & Wiesemann [2005])



2 12 1Seiten

Strecke Streckein Material 2 in Material 1 0, für 0

d d 0L

h

E s E s E s E s

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2

1

s t s

s t s

2 1 0t tE E s

(3.53)2 1t tE E

2 12 1

2 1

2 1

2 1

d

0

L

t t

t t

t s

E E

t sE s E s E s

E t s E t s

E s E s

++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Tangentialkomponente von

E im Material 2 und Material 1

2 1,t tE E

Tangentialkomponentenvon E sind stetig!



2 1t tE E

Materialgleichung

Normalkomponenten von D sind stetig! Tangentialkomponenten von E sind stetig!

Tangentialkomponente von D ?Normalkomponente von E ?

2 1, ?t tD D 2 1, ?n nE E

2 1n nD D

Materialgleichung

12 1

2n nE E

22 1

1t tD D

1,2 1,2 1,2

2 2 1 1n n

D E

E E

1,21,2

1,2

2 1

2 1

t t

DE

D D

2 1n nD D (3.52) (3.53)2 1t tE E



22 1

1

2 1

t t

n n

D D

D D

2 1

12 1

2

t t

n n

E E

E E

n

Normaleinheitsvektor : , 1n n

Material (2)

Material (1)

2

1

Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher Permittivität

(stetig)

(unstetig)

(unstetig)

(stetig)


3.9. Bedingungen an GrenzflächenHerleitung des Brechungsgesetzes

11

1

tan t

n

E

E 2

22

tan t

n

E

E

11

1

nn

DE

22 2

2

tan t

n

E

D

1 1 11 1

1 1 1 1 1 1

2 2 12 2 22 2

2 2 1

tan

tan

t t t

n n n

t t t

n n n

E E E

D D DE E E

D D D

Brechungsgesetz der Optik:

11 1

1

tan t

n

E

D

22

2

nn

DE

2 1n nD D

2 1t tE E1 1

2 2

tan

tan

Brechungsgesetz

(3.54)

Bild 3.37. Zum Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien(vgl. Bild 3.37. in Clausert & Wiesemann [2005])

2tE

1tE

2E++++++++++++++

1E++++++++++++++

Material (2)

Material (1)

1nE

2

1

2nE

2

1


Ende der Vorlesung

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