dr.-ing. rené marklein - get i - ws 06/07 - v 26.01.2007 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...
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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 26.01.2007
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 2
3.6.3.2 Kugelkondensator (S. 175, CW, 9. Aufl.)
2 2
1
4 4r r
Q QD E
r r
1. Schritt: Analyse des Feldverlaufes Kugelsymmetrie, also auf konzentrischer Kugelfläche um Ladung Q
2. Schritt: Ladung annehmen, elektrische Flussdichte und elektrische Feldstärke bestimmen
Kugelkondensatorgleiche Feld- und Potenzialverteilung wie bei der Punktladung
Potenzial und Feldstärke konstantauf Kugelschalen!
Q
Q
Q2r
12
3
Bild 3.24. Kugelkondensator; gleiche Feld- und Potenzialverteilung wie bei der Punktladung(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.24, S. 175, Bd. 1)
1r
2r
Bestimmung der Kapazität eines Kugelkondensators
, ,r rr rD r D r D r e E r E r E r e ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 3
3.6.3.2 Kugelkondensator (S. 175, CW, 9. Aufl.)
22 2
1 2
11 1
2
, 2 21 21
1 1 1 1 1 ( ) d d d
4 4 4 4
rr rr
PB r r rr rr r r r r r
Q Q Q QU U E r r r r
r r r r r
1 2
1 2KK
, 2 1
1 2
44
1 1r r
Q r rC C
U r rr r
2 2 2
1 2 1 2 12 1
112 12
22
lim 4 4 lim 4 lim 411
r r r
r r r r rr C r
rrr r rrr
3. Schritt: Spannung zwischen Elektroden durch Integration
Kapazität einer Kugel gegen die sehr weit entfernte Umgebung:
Kapazität eines Kugelkondensators mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2:
(KK: Kugelkondensator)1 2KK
2 1
4r r
C Cr r
(3.33)
1 0r rmit folgt für die Kapazität einer Kugel mit dem Radius r0
(KK: Kugelkondensator)
K 04C C r (3.34) (K: Kugel)
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3.6.3.2 Kugelkondensator (S. 175, CW, 9. Aufl.)
Q
Q
Kapazität einer Kugel mit dem Radius rgegen Unendlich:
1r
2r
Kapazität eines Kugelkondensators mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2:
(KK: Kugelkondensator)
1 2KK
2 1
4r r
C Cr r
(3.33) K 04C C r (3.34)
(K: Kugel)
Q
2
im Unendlichen
mit
Q
r
0r
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Beispiel 3.7 Kugelkondensator maximaler Kapazität (S. 176, CW, 9. Aufl.)
0 r maxEGegeben: Kugelkondensator mit Radien a und r, zwischen den Elektroden ein Dielektrikum mit
, das eine Durchschlagfeldstärke von
Gesucht: Wie ist der Radius r zu wählen, damit bei vorgegebener Spannung U
am Kondensator die Kapazität C einen maximalen Wert hat, ohne dass
die Durchschlagfeldstärke Emax überschritten wird?
besitzt.
0 r
a
rBild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r
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Beispiel 3.7 Kugelkondensator maximaler Kapazität (S. 176, CW, 9. Aufl.)
maxmax 2
2max max
4
4
QE
a
Q E a
max
2max
2max
max
2max
max
1 1
4
1 1
QU
a r
E aa r
E aU E a
r
E aE a U
r
Spannung zwischen Elektroden:
bei kleinstem Radius, d.h. Innenradius a
Lösung: max2 2
1
4r
QE r E r E
r r
0 r
a
rBild zu Beispiel 3.7: Kugelkondensator mit Radien a und r
2max max 4Q E a
max
1 1 /1
U a
r a E
2max max
max max
maxmax
/11
E a E a a ar
U aE a U E a UEE a
max
/1
ar
U aE
2max
max
E aE a U
r
max2max
max
1 1
1 /1
E a Ur E a
U a
a E
Bild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r
Lösung: Berechnung des Radius
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Beispiel 3.7 Kugelkondensator maximaler Kapazität (S. 176, CW, 9. Aufl.)
max
max
41 1
4
1 1 /1
4
1 /1 1
C
a r
U aa a E
U aa E
Mit diesem r die maximale Kapazität ausrechnen
0 r
a
rBild zu Beispiel 3.7: Kugelkondensator mit Radien a und r
max
1 1 /1
U a
r a E
max
/1
ar
U aE
max
1 1 /1
U a
r a E
max
2 max
41 /
4
CU a
a E
Ea
U
2 max4E
C aU
oder
Ergebnis: Maximale Kapazität:
Lösung: Berechnung der maximalen Kapazität
Bild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r
Lösung für den Radius:
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3.6.3.3 Koaxialkabel - Zylinderkondensator (S. 176, CW, 9. Aufl.)
2 21, 2 1 2
1
ln2
U
Potential aus Analogie zum Linienleiter:
(Feldverlauf im Inneren identisch zu dem eines Linieleiters
-> Äquipotenzialflächen entsprechen hier den
Leiteroberflächen, haben also gleiche Feldeigenschaften)
Kapazität pro Länge:
/C Q lC
l U U
also
2
1
2
ln
C
Generell ist die Kapazitätsberechnung sehr leicht, wenn die Potenziale ,
an der inneren und äußeren Elektrode bekannt sind:
QC
bzw. C
3
1
C C l
ZK
2
1
2
ln
lC C
Bild 3.25a. Koaxialkabel(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25a, S. 176)
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Lösungsmethodik „Kapazitätsberechnung“
Q
dA
Q D A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, d d
B
ABAL
E s E s U ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Probeladung
D Q,,,,,,,,,,,,,,
DE
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
E Q,,,,,,,,,,,,,,
ABU
AB
QC
U Q
C
Q l 1
2
QD
l
Probeladung
dA
Q D A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
DE
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1
2
QE
l
d dB
ABAL
E s E s U ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2
1
ln2AB
QU
l
AB
QC
U Q
2
1
2
ln
lC
Beispiel: Kapazität eines Koaxialkabels oder Zylinderkondensators
Allgemeine Vorgehensweise bei der Kapazitätsberechnung
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 10
Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichteten Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)
2
Gegeben: Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum,
zwei Schichten (siehe Bild 3.25b)
3
1
2
1Gesucht: 1. Kapazität des Kabels.
Feldlinienverlauf wird durch Materialwechsel NICHT
verändert -> bei vorgegebener Ladung -> D unverändert
-> E über ε
Elektrische Linienladung λ auf innerer Elektrode annehmen:
32
1 21 2
2 3
1 1 2 2
1 1d d
2 2
1 1ln ln
2
U
32
1 1 2 2
2
1 1ln ln
CU
Kapazität pro Länge:
Spannung:
1. Berechnung der Kapazität des Kabels
Bild 3.25b. Koaxialkabel mitgeschichtetem Dielektrikum(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25b, S. 177)
Lösung:
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Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichteten Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)
2
Gegeben: Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum,
zwei Schichten (siehe Bild 3.25b)
3
1
2
1
Gesucht: 2. Wie groß sind die maximalen Feldstärken in jedem Dielektrikum?
Lösung:
Maximalwerte bei den jeweils kleinsten Radien 1 2,
1
2E
Siehe Feldstärkeverlauf bei der Linienladung
->1
E
1 11 12
E
2 22 22
E
2. Berechnung der maximalen Feldstärken in jedem Dielektrikum
Bild 3.25b. Koaxialkabel mitgeschichtetem Dielektrikum(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25b, S. 177)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 12
Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)
2
Gegeben: Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum,
zwei Schichten (siehe Bild 3.25b)
3
1
2
1 Gesucht: 3. Wie muss
Lösung:
2 gewählt werden, damit beide Feldstärken aus 2. gleich sind?
1 1 2 2E E für 1 1 2 2
also1
2 12
sofern 1 2
1 11 1
,2
E
2 2
2 22E
2 1 damit ist
1 2 2 1 führt auf
3. Berechnung von ρ2 damit beide Feldstärken aus 2. gleich sind
Bild 3.25b. Koaxialkabel mitgeschichtetem Dielektrikum(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25b, S. 177)
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Zusammenfassung: Platten-, Zylinder- und Kugelkondensator und Kugel
1 2, 1 2
2
1
ln2
U
ZK
2
1
2
ln
lC C
1
2
l
d Q
Q
A
1r
2r
U
1
2E
1ln
2
0dU d
Qd
A
PK
Q AC C
U d
z
QE z
A
Qz z
A
1 2, 1 2
1 2
1 1
4
r rU r r
Q
r r
KK
1 2
4
1 1C C
r r
2
1
4r
QE r
r
1
4
Qr
r
0r
0 1
0 V
0
1
4
rU r r
Q
r
K 04C C r
2
1
4r
QE r
r
1
4
Qr
r
Q
l
Plattenkondensator Zylinderkondensator Kugelkondensator Kugel
z r r
Q
Q Q
im Unendlichen
mit
Q
r
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Ende der Vorlesung