ulrich hohenester – kfu graz, vorlesung 3 reibungskräfte, oszillator (frei & getrieben),...

Ulrich Hohenester – KFU Graz, Vorlesung 3

Reibungskräfte, Oszillator (frei & getrieben),Eigenschwingungen, Schwebung,chaotische Systeme

Einführung in die Physik für LAK

Normalkraft

Jede auf eine Fläche einwirkende Kraft kann in die Komponenten Normalkraft und Querkraft zerlegt werden. Die senkrecht zur Fläche (also in Richtung des Normalenvektors) wirkende Normalkraft erzeugt Zugspannungen oder Druckspannungen. Die in der Fläche wirkende Querkraft erzeugt Scherspannungen.

Haft- und GleitreibungÄußere Reibung wird auch als Festkörperreibung bezeichnet, weil sie zwischen den Kontaktflächen von sich berührenden Festkörpern auftritt. Sie wird unterteilt in Haftreibung und Gleitreibung, die beide zu Ehren des Physikers Charles Augustin de Coulomb auch als Coulombsche Reibung bezeichnet werden.

Die Reibungskraft FR nimmt mit der Normalkraft FN zu, oft annähernd linear und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche

Dabei sind die Reibungskoeffizienten µ abhängig von der Beschaffenheit der Oberflächen. Der Koeffizient für Haften ist grundsätzlich größer als der für Gleiten. Ihr Wert wird experimentell bestimmt.

LuftreibungStokesche Reibung (kleine Geschwindigkeit)

Newtonsche Reibung (ab kritischer Geschwindigkeit)

Hookesches GesetzDas hookesche Gesetz (nach Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).

linearer Bereich

PendelLineare Rückstellkraft für kleine Auslenkungen

OszillatorFederkraft

Pendel

Gedämpfter OszillatorNewtonsche Bewegungsgleichung

Feder Reibung

Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung

Keine Schwingung falls Dämpfung zu groß !!!

Getriebener OszillatorNewtonsche Bewegungsgleichung

Feder Reibung Treibende Kraft

Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung

Amplitude Phase

Getriebener Oszillator schwingt mit Treibfrequenz

Getriebener Oszillator

Amplitude Phase

Die Resonanzkurve der Amplitude hat ein Maximum bei w ~ w0. Dieses Phänomen heißt Resonanz.

ResonanzkatastropheBei verschwindender Dämpfung wächst die Amplitude im Resonanzfall über alle Grenzen

(„Resonanzkatastrophe“).

Getriebener parametrischer Oszillator

Lineare SystemeBei einem lineren System sind die Kräfte linear in der Auslenkung und Geschwindigkeit

Linearer Opertator

Ein lineares System kann durch bestimmte „Eigenmoden“ charkterisiert werden, die unabhängig voneinander mit einer bestimmten „Eigenfrequenz“ schwingen.

Gekoppelte PendelZwei Pendel werden durch eine Feder gekoppelt. Bei den Eigenschwingungen bewegen sich die Pendelentweder gleich- oder gegenphasig.

Eine beliebige Schwingung kann aus diesen beiden Eigenschwingungen aufgebaut werden.

Beispiel. Bei A = B = ½ ist zum Zeitpunkt Null nur das linke Pendel ausgelenkt. Wie sieht die Bewegung aus?

SchwebungBei Überlagerung beider Eigenmoden kommt es zur Schwebung.

Die Anregung wandert zwischen den beiden Pendeln hin und her, wobei die Schwebungsperiode durchdie Kopplung der beiden Pendel (Feder) bestimmt ist

Atomuhren (GPS)Bei einer Atomuhr wird die Schwebung von „atomaren Pendeln“ ausgenutzt und ein elektrischen Schwing- kreis wird über einen Feed- backloop synchronisiert.

PhasenraumDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Ort

Impuls

Trajektorie im Phasenraum

t = 0

t > 0

Ort

Impuls

x0

Ungenauigkeit im Anfangszustand

Ungenauigkeit im Endzustandwächst linear oder polynomial

Reguläres SystemDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Ort

Impuls

Trajektorie im Phasenraum

t = 0

t > 0

Ort

Impuls

x0

Bei einem regulären System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustand linear oder polynomial im Lauf der Zeit zu.

Chaotisches SystemDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Ort

Impuls

t = 0

t > 0

Ort

Impuls

x0

Ort

Impuls

t = 0

l … Lyapanov - Exponent

Bei einem chaotischen System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandexponetiell im Lauf der Zeit zu.

Ein Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebene anharmonische Oszillator

Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch

Chaotisches System - Beispiel

Ort

Impu

ls

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ort

Impu

ls

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

Zeit

Ort

Zeit

Regulärer Oszillator

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ort

Impu

ls

Ort

Impu

ls

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

Zeit

Ort

Zeit

Chaotischer Oszillator

Chaotisches System - DoppelpendelEin Doppelpendel ist ebenfalls ein chaotisches System.

1963 formulierte der Meteorologe Lorenz ein Modell, das eine Idealisierung eines hydrodynamischen Systems darstellt, und das eine Modellierung der Zustände in der Erdatmosphäre für eine Langzeitvorhersage erlauben sollte.

Chaotisches System - Wetter

Auch dieses System zeigt chaotisches Verhalten. Bisweilen wird das System von relativ stabilen„Attraktoren“ angezogen.