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1

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Grundlagen der Elektrotechnik 2

(GET 2)

Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)Abteilung für Elektrotechnik und InformationstechnikFakultät für IngenieurwissenschaftenUniversität Duisburg-Essen

Norbert Koster

Daniel Erni

(BA 342, [email protected])


Markus Pell


Inhalt

1. Einführung

2. Bauelemente der

Elektrotechnik

3. Elektrische Netzwerke

4. Wechselspannungen

und Wechselströme

5. Komplexe

Wechselstromrechnung

6. Netzwerkanalyse

7. Netzwerksätze

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2

Einführung I

Vorlesungsunterlagen

• Lehrbuch GET 1:

Skriptum für das Kapitel «Bauelemente der Elektrotechnik»

• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung:

Bildmaterial zum Buch Ergänzende Manuskripte Aufgabenstellungen Alles via Moodle-Server: http://moodle.uni-duisburg-essen.de/

Ingo WolffVerlagsbuchhandlungDr. Wolff, 2003401 Seiten, 35.50

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Einführung II


• Lehrbuch GET 2:

Nebenstehendes Buch von Ingo Wolff wird alsSkriptum zur Vorlesung verwendet.

• Ergänzende Lehrbücher:

H, Frohne, K.-H. Löcherer, H. Müller, «Moeller Grundlagen der Elektrotechnik» Teubner, 2005, 551 Seiten, 38.90

Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger, «Theoretische Elektrotechnik – eine Einführung» Springer Verlag, 2005, 745 Seiten, 44.95

Eugen Philippow, W.-J. Becker, W. Hofmann,«Grundlagen der Elektrotechnik»Verlag Technik, (10. Aufl.), 2000,800 Seiten, 74.20

Ingo WolffVerlagsbuchhandlungDr. Wolff, 2005373 Seiten, 35.50

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3

Einführung III


• Alternative Lehrbücher:

Manfred Albach, «Grundlagen der Elektrotechnik 1 – Erfahrungssätze, Bauelemente,

Gleichstromschaltungen» Pearson Studium, 2005, 304 Seiten, 29.95

Manfred Albach, «Grundlagen der Elektrotechnik 2 – Periodische und nichtperiodische

Signalformen» Pearson Studium, 2005, 272 Seiten, 29.95

L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius, «Grundlagen der Elektrotechnik 3 – Netzwerke» Pearson Studium, 2006, 256 Seiten, 29.95

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Einführung IV

Verschiedenes

• Vorlesungsbetrieb:

ÜbungenSeminareTutorienSkript (Lehrbücher GET 1 & GET 2, I. Wolff)Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen)

• Nomenklatur:

Referenzen auf Folien der Vorlesung «Grundlagen der Elektrotechnik 1» (GET 1)erfolgen gemäss der folgenden SchreibweiseFolie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91.

• Bitte:

Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript und Bücher) !

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4

Einführung V

Worum es geht

Elektrische und magnetischeFelder: E, D, B, H.

(A) Elektromagnetische Feldtheorie (B) Stromlehre

Bauelemente:R, C, L, M.

Netzwerke und Schal-tungen: u, i.

Das elektrische Strömungs-feld: J.

• Gleichstrom/-spannung

• Wechselstrom/-spannung«Übersetzung»

-7-

-8-

4. Bauelemente

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2

• Bezugspfeile

• Bezugspfeile und Netzwerke

• Elektrische Quellen

• Der elektrische Widerstand

• Der Kondensator

• Die Spule

• Gekoppelte Spulen

• Der Transformator[Buch GET 1: Seiten 258-401]

5

Voraussetzungen I

Energetische Verhältnisse in den Bauelementen

Aktive / passive elektrische Bauelemente:

• Passive Bauelemente:

• Elektrische Energie wird in Wärme umge-wandelt (Verbraucher), gespeichert oderübertragen.

• Ohne Anlegen einer elektrischen Spannungfliesst auch kein Strom.

• Wichtige passive Bauelemente: Widerstand,Kondensator, Spule, Transformator.

• Aktive Bauelemente:

• Es fliesst ein Strom auch ohne Anlegen einer elektrischen Spannung.

• Elektrische Quellen (oder genauer: elektri-sche Energiewandler, da es keine «Energiequellen» im eigentlichen Sinn gibt).

-9-

Voraussetzungen II

Grössenverhältnisse der Bauelemente

Zeitskalen der Anregung elektrischer Bauelemente:

20

=c020 f

ElektromagnetischeWelle (Anregung)

Ein Bauelement heisst «konzentriertes Bauelement», falls dessencharakteristische Abmessung viel kleiner als die Wellenlänge der anregenden Grösse ist. Die räumliche Variation der elektri-schen Grössen entlang des Bauelements ist vernachlässigbar.Netzwerke bestehen aus konzentrierten Bauelementen.

-10-

6

Netzwerkelement

i

u

KlemmeKlemme

Voraussetzungen III

Idealisierung von Bauelementen

Netzwerkelemente:

• Realen elektrischen Bauelementenwerden Idealisierungen zugeord-net: Netzwerkelemente.

• Netzwerkelemente sind mathema- tische Modelle zur Beschreibung

der Haupteigenschaften vonelektrischen Bauelementen.

• Netzwerkelemente (Modelle)werden mittels (Schalt-) Symbolgekennzeichnet.

• Eine Schaltung realer Bauelemente idealisiert sich zu einem Schaltplan

von Netzwerkelementen.

• Ein solcher Schaltplan heisst «elektrisches Netzwerk».

Netzwerkelement Mathematisches Modell

ElektrischesNetzwerk

Gleichungssystem

(2) Netzwerkanalyse:

-11-

Bezugspfeile I

Bezugspfeil der elektrischen Spannung

u = E ds1

2 • Bezugspfeil der Spannung stets in Richtung des Wegelements.

• u > 0: Die Wegelemente (d.h. der Bezugspfeil) zeigen währendder Integration grösstenteils in Richtung der elektrischenFeldstärke (Integral ist positiv).

• u < 0: Die Wegelemente sind grösstenteils entgegengesetzt zurRichtung der elektrischen Feldstärke (Integral ist negativ).

1 2

E

ds

a) u

12> 0

1 2

E

ds

b) u

12< 0

-12-

7

A

b)

J

n

a) i > 0

i J

n

i < 0

i

Bezugspfeile II

Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke

i = J n dAdFA

• Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke stets in Richtung desFlächennormalenvektors.

• i > 0: Flächennormalenvektor zeigt in Richtung der elektri-schen Stromdichte (Skalarprodukt ist positiv).

• i < 0: Flächennormalenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung der elektrischen Stromdichte.

-13-

H,B n

m> 0

A

ds

i > 0 n

quera)

H,B

n

m< 0

A

ds

i > 0 n

querb)

Bezugspfeile III

Bezugspfeil des magnetischen Flusses

(1) Elektrische Stromstärke und magnetische Feldstärke:

H dsC

= J nquer dAquerAquer

• Bezugspfeil des Stromes i bestimmt nquer.

• Bezugspfeil des Stromes i ordnet die Rich-tung von ds im Rechtsschraubensinn zu.

• nquer und ds bilden Rechtsschraubensystem.

-14-

8

Bezugspfeile IV


(2) Stromstärke, magnetische Feldstärke und magnetischer Fluss:

i Bezugspfeil nquerRechtsschraubensinn ds

i > 0 J nquer > 0

i < 0 J nquer < 0

i > 0 H ds > 0

i < 0 H ds < 0

i = J nquer dAquerAquer

= H dsC

mBezugspfeil n B H

m > 0 B n > 0

m < 0 B n < 0

m = B n dAA

«willkürlich»

«willkürlich»

-15-

Rn

indi

indu

a)

n m

indub)

m

Bezugspfeile V


(3) Bezugspfeilordnung beim Induktionsgesetz:

(b) Der Bezugspfeil der induziertenSpannung uind und der Bezugspfeildes magnetischen Flusses m

bilden ein Rechtsschraubensystem.

uind = E dsA

=d m

dt=

d

dtB n dA

A

iind =uindR

(a) Die Bezugs-pfeile derinduziertenStromstärke iindund desmagnetischenFlusses m

bilden einRechtsschrau-bensystem.

-16-

9

i

u

Netzwerkelement

i

u

Netzwerkelement

i

u

Netzwerkelement

i

u

Netzwerkelement

a) b)

c) d)

Bezugspfeile VI

Netzwerkelemente und Bezugspfeile

(1) Mögliche Zuordnung der Bezugspfeile:

E, J

Die Richtungen der Feld-grössen werden durch die Physik vorgegeben.

u, i Die Bezugspfeile der elektrischen Grössen Spannung und Stromkönnen willkürlich gewählt werden.

-17-

Bezugspfeile VII


(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:

u = + E

i = + J A

u = E

i = + J A

u = E

i = J A

u = + E

i = J A

E, J

-18-

10

Bezugspfeile VIII



J = E

Wir berücksichtigen den festen, physikalischen Zusammenhangzwischen den beiden Feldgrössen (Folie 1-134):

u = +Ai = +R i

u =Ai = R i

u = +Ai = +R i

u =Ai = R i

a( ) u > 0; i > 0

b( ) u < 0; i > 0

c( ) u < 0; i < 0

d( ) u > 0; i < 0

p = +u i = R i2 =u2

R

p = u i = R i2 =u2

R

p = +u i = R i2 =u2

R

p = u i = R i2 =u2

R

-19-

Bezugspfeile IX



• Gleichsinnige Bezugspfeile führen jeweils zur üblichen Schreibweise u = + R·i desohm’schen Gesetzes. Bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach u = R·i.

• Die in Wärme umgesetzte Leistung (Verlustleistung = vom passiven Element aufge-nommene Leistung) ist stets positiv. Dies erfolgt direkt nur bei gleichsinnigen Bezugs-pfeilen, bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach das negative Produkt p = u·i.

• Bei aktiven Elemente, ist die abgegebene Leistung positiv, was direkt nur bei denentgegengesetzten Bezugspfeilen erfolgt.

u u

i i

a) b)

(4) Konvention: das Verbraucherbezugspfeilsystem:

Passives Bauelement Aktives Bauelement

«gleichsinnig» «gegensinnig»

-20-

11

– +

CdSO4

Cd

U0

CdSO4

Hg2SO4

Hg

Klemmen

Elektrische Quellen I

Beispiele elektrischer Quellen

(1) Das Normalelement von Weston:

• Es gibt keine Energiequellen, sondern nur Energiewandler.

• In einer elektrischen Quellewerden Ladungen mittels EMK(«treibende» Kraft nichtelek-trischer Natur, cf. Folie 1-243)getrennt.

• Elektrochemische EMK: Cad-miumsulfat-Lösung mit Queck-silber-Anode (+) und Cadmium-Kathode (–).

• Cd ist unedler als Hg und geht bei der Kathode in Lösung. Bei

der Anode verbinded sich Cd++

mit Hg2SO4 und bildet dort CdSO4

und metallisches Hg.

U0 = 1.0813 V (Spannungsnormal, i < 1 mA,bei 20°C, ändert wenig mit der Temperatur).

-21-

– + U

0 PbO

2PbSO

4

H

2SO

4+H

2O

iLaden

iEntladen

Pb PbSO

4

Elektrische Quellen II


(2) Der Blei-Akkumulator:

• Gebräuchlichster elek-trischer Energiespeicher

(Automobilindustrie)

• Zwei Bleisulfatelektroden(PbSO4) in verdünnterSchwefelsäure (H2SO4).

• Laden: elektrische chemische

Energie Bindung

• Entladen: chemische elektrische

Bindung EnergieChemischeBindungsenergie

ElektrischeEnergie

-22-

12

Elektrische Quellen IIIBeispiele elektrischer Quellen


Ladevorgang:

Positive Elektrode (Anode): PbSO4 + SO4-- + 2H2O 2(-e) = PbO2 + 2H2SO4

Negative Elektrode (Kathode): PbSO4 + H2++ + 2(-e) = Pb + H2SO4

Entladevorgang:

Positive Elektrode (Anode): PbSO4 + H2++ + H2SO4 = PbSO4 + 2H2O 2(-e)

Negative Elektrode (Kathode): Pb + SO4-- = PbSO4 + 2(-e)

H2SO4 + H2O

H2++

– +

SO4--

PbSO4 PbO2PbSO4 Pb

2(-e)2(-e)

H2SO

4 + H

2O

H2++

– +

SO4--

PbO2

PbSO4

Pb PbSO4

2e–2e–

«laden»

Elektronenstrom

«entladen»

Ionenstrom

-23-

0 2 4 6 8 10 12 h t

1,6

1,8

2,2

2,4

2,6

2,8

V

U0

2,0

Laden

Entladen

Elektrische Quellen IV



• Beim Entladevorgang ist dieSpannung über eine bestimm-te Zeit nahezu konstant.

• Die Spannung hängt zudem von der Grösse des bei der

Entladung fliessenden Strom-stärke ab.

• Ladungszustand lässt sichanhand der Spannung amAkkumulator bestimmen.

-24-

13

IE

B

u

u

B

n

a

b t = 0

A

Elektrische Quellen V


(3) Elektromechanische Energiewandler: • Drehende Leiterschleifeim Magnetfeld.

• Spannungserzeugung durch Induktion.

• Abgriff über Schleifringe.

Elektromagnet zur Erzeugungdes statischen Magnetfeldes.

Bewegte, d.h. drehende Leiterschleife zurErzeugung der (induzierten) Quellenspannung.

-25-


(3) Elektromechanische Energiewandler:

u =d m

dt=

d

dtB a b cos t( ){ }

= B a b

u

sin t( ) = u sin t( )

u

B

n

a

b t = 0

A

• Wird ein Verbraucher angeschlossen, dann

fliesst ein Strom, bzw.es wird elektrische

Energie umgesetzt.

• Die verbrauchte Leis-tung wird an der Wellemechanisch erbracht.

m t( ) = B n t( )A

dA =

= B a bA

cos t( )

t n

Elektrische Quellen VI-26-

14

u

0

i

Ideale elektrische Quellen I

Elektrisch starre Quellen

(1) Urspannungsquelle:

u = u0 i

Schaltsymbol u

i0

(2) Urstromquelle:

u

i0 i

u

u0

i

i = i0 u

Verbraucherbezugs-pfeilsystem: Quellenhaben gegensinnigeBezugspfeile !

u-i-Kennlinie

Kurzschluss: i ( Rinnen = 0) Leerlauf: u ( Rinnen = )

: Urspannung : Urstromstärke

-27-

( )10 ufu =

2 2´

1 1´1u

( )10 ifu =

2´

1 1´1i

a)

b)

2

( )10 ufi =

1 1´1u

2 2´

( )10 ifi =

1 1´1i

c)

d)

2 2´

Ideale elektrische Quellen II

Gesteuerte Quellen

(a) Spannungsge- steuerte Span-

nungsquelle.

(b) Stromgesteuerte Spannungs-

quelle.

(c) Spannungsge- steuerte

Stromquelle.

(d) StromgesteuerteStromquelle.

Beispiel (Folie 25):

u = f IE( )

-28-

15

Der elektrische Widerstand I

Netzwerkelement und Symbol

Definitionen des ohm’schen Widerstands:

u = R i

R =A

R[ ] =u

i=V

A=

R

i

u

R

a) b)Schaltsymbol Bezugspfeile

i = G u

G =A

G[ ] =i

u=1

R=

=A

V=

1= SElektrischer Widerstand in Ohm. Elektrischer Leitwert

in Siemens.

-29-

0

1

2

3

4

5

6

V

u

R3=10

R2 = 5

R1=1

u

i

u1

u2

i1 i2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A i 0 1 2 3 4 5 V u

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2

1,2

A

i

G1=1S

G2= 0,2S

G3= 0,1S

Der elektrische Widerstand II

Strom-Spannungs-Kennlinien

Die Widerstandskennlinie:

R =u

i=

=u2 u1i2 i1

R bzw. G ist die Steigung der entspr. Kennlinie.

G =i

u=

=i2 i1u2 u1

-30-

16

0 1 2 3 4 5 V u

0

6,25

12,5

18,75

25,0

W

p

0 1 2 3 4 5 A i

0

25

50

75

100W

p

G1 =1S

G2 = 0,25 S

R2 = 4

R1 =1

Der elektrische Widerstand III

Die Verlustleistung am elektrischen Widerstand

Verlustleistung als Funktion der elektrischen Grössen:

Die Leistung p wird dem elektrischenSystem entzogen bzw. in Wärme umgewandelt:

Verlustleistung.

QuadratischesVerhalten.

p = u i = R i2 =u2

Rp[ ] = u i[ ] = VA =W Die Leistung

in Watt.

-31-

Schutzschicht Anschlusskappe

Widerstandsdraht Wickelkörper

Technische Bauformen

(1) Der Drahtwiderstand:

• Aufgewickelter Draht ausWiderstandsmaterial wieNickelin, Manganin, usw.(cf. Folien 1-138, 1-141).

• Werte: 1 bis 100 k .

• Präzis einstellbar, dafür teuer.

• Auch für grosse Verlust-leistung erhältlich.

1 – 22 / 50 W24 – 82 k / 6 W

Der elektrische Widerstand IV-32-

17


Widerstandsmasse

Der elektrische Widerstand V


(2) Der Massewiderstand:

• Körper gefüllt mit homo- gener Widerstandsmasse

wie Bindemittel mit Russoder Graphit.

• Werte: 10 bis 1 G .

• Sehr geringe Herstellungs-kosten, dafür sind die Toleranzen der Wider-standswerte gross.

• Diese Bauform eignetsich für grosse Stück-zahlen.

• Typischer Einsatz in derKonsumerelektronik.2.4 M / ± 20%

-33-

• Dünne Metall- oder Kohle-schicht, ergibt Widerstand:

• Werte: 1 bis 100 k .

• Diese Bauform eignetsich für genaue Wider-stände, d.h. mit kleinenToleranzen und für grosseStückzahlen.


Widerstandsschicht

a i

Der elektrische Widerstand VI


(3) Der Schichtwiderstand:

R =a2

i2( )

56 k / ± 1%(Metallschicht)

-34-

18

2.4 M / ± 5%

} Metall-Schicht-

widerstände

Kohle-Schicht-

widerstände

Der elektrische Widerstand VII


(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):

Farbe A B C Multiplikator Toleranz Temperaturkoeffizient

-35-

Der elektrische Widerstand VIII


(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):

2.4 M / ± 5%

24 100 k

± 5%

-36-

19

Der elektrische Widerstand IX


(5) Internationale Normenreihe für Widerstandswerte (E-Reihen, DIN IEC 63):

En = Enk En

k= 10 round 10kn( ); k = 0,1,…,n 1{ }

E 6: 10 15 22 33 47 68 ± 20%

E 12: 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 ± 10%

E 24: 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 … ± 5%

E n: n = 6, 12, 24, 48, 96, 192.

(6) SMD-Widerstände (Surface Mounted Device):

Beschriftete Widerstände mit sehr kleinen Abmessungen für eng bedruckte Schaltungen

E 24: 2.4 2R4 R [1,10] ± 5%, ± 2% 24 24R R ]10,100] ± 5%, ± 2% 240 k 244 4: Anzahl Nullen R ]100,107] ± 5%, ± 2%

0.2 mm 0.4 mm

-37-

Der elektrische Widerstand X

«Extreme» Widerstandsbauformen

110 kW / 1.8 m

Widerstandssensor

(Nano-Thermometer)Hochleistungswiderstand:

SMD-Widerstände

(Lokomotivbau, usw.)

Mikrowellen-Widerstände (SMD)

(cf. Folie 10)

-38-

20

Der Kondensator I

Die Parallelplatten-Anordnung

Prinzipieller Aufbau:

• Wichtig: Siehe hierzu auch Folien1-58, 1-87 bis 1-88 (Ladung undD-Feld) und 1-89 (Ladung und Spannung) bzw. Folie 1-107 zum Energieinhalt !

• Zweielektrodenanordnung: Mit dem Anlegen einer Spannung wird einelektrisches Feld dazwischen ausge-bildet und Ladungen auf die Platten aufgebracht: Speicherung von Ladun-gen und elektrischer (Feld-)Energie.

• Eine solche Anordnung (ein solcheselektrisches Speicherelement) heisst«Kondensator».

• Der Vorgang des «Aufbringens» heisst «laden» des Kondensators.

E,D

+ Q

A

d u

Q

r

-39-

+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

+

-

b) c)a) t = 0

iL

iL

+ Q

Q

U0 U0

U0 E E

Q = 0

Q = 0

t < 0 t > 0

Der Kondensator II

Laden des Kondensators

(1) Der Ladevorgang:

Keine Spannung,kein Feld,keine Ladung.

Spannung wird angelegt,es existiert ein E-Feld,es erfolgt Ladungstren-nung durch Influenz.

Quelle «saugt» auf der oberen Platte die negative Träger ab und schiebt sie auf die untere Platte, wo sie die positven Ladungen kompensieren. «Schieben» Ladestrom iL.

Spannungsquelle liefert positive Ladung auf die obere Platte und negative Ladung auf die untere Platte.

alternativeLesart !

-40-

21

Der Kondensator III

Laden des Kondensators

(2) Fazit: • Der Kondensator speichert die positive Ladung auf der einen Platte und diegleiche Menge an negativer Ladung auf der gegenüberliegenden Platte.

• Durch das zwischen den Platten existierende elektrische Feld speichert der Kondensator auch elektrische (Feld-)Energie.

• Im geladenen Zustand kann keine Energie mehr zugeführt werden, d.h. eskann kein Strom mehr fliessen.

Bei Anlegen einer Gleichspannung an den Kondensator fliesst, abge-sehen vom Ladestrom, kein elektrischer Strom über den Kondensator.

• Das bleibt so, solange nichts an der Kondensatoranordnung geändert wird,d.h. es bleibt so, selbst wenn die Spannungsquelle abgehängt wird.

• Wird der geladene Kondensator an einen Widerstand angeschlossen, so fliesst ein Strom, der Kondensator wird entladen. Durch den Entladestrom

werden die positiven und negativen Ladungen ausgeglichen, d.h. alle gespeicherten Grössen werden abgeführt.

-41-

i t( )

+Q t( )

Q t( )

E t( ) ,D t( )

u t( )

u t( )

Der Kondensator IV

Die Kapazität des Kondensators

Bezugspfeile und Bezugsgrössen:

Q =0 r A

du = :C u

• Vereinbarung: Unter Ladung Qwird die Ladung verstanden,die sich auf der Elektrode be-findet, an welcher der Bezugs-pfeil der Spannung beginnt(siehe hierzu auch Folie 1-107).

• Spannung und Ladung verhal-ten sich im Kondensator pro-portional zueinander (sieheFolien 1-89 und 1-106).

• Die Proportionalitätskonstanteheisst Kapazität C:

C =Q

uC[ ] =

As

V=s= F Die Kapazität

in Farad.

Verbraucherbezugs-pfeilsystem !

-42-

22

Der Kondensator V

Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung

(1) Zur Stromstärke:

i t( ) =dQ t( )dt

= 0 r A

d

du t( )dt

i t( ) = Cdu t( )dt

• Varierende Spannung (z.B. eineWechselspannung) am Konden-sator: ständiger Lade- und Ent-ladevorgang.

• Gemäss Folie 42 wird auchständig Ladung aufgebrachtbzw. weggeführt: es fliesst einStrom, solange u(t) sich ändert:

i t( )

+Q t( )

Q t( )

E t( ) ,D t( )

u t( )

u t( )


Die elektrische Stromstärke i(t) am Kondensatorist proportional zur zur Zeitableitung der Spannung, mit der Kapazität C als Proportionalitätskonstante.

-43-

• Frage : Fliesst der Stromi(t) am, zum oder durch denKondensator?

• Stromfluss i(t) verändert aberlaufend die Ladungen ± Q(t).

• Die Elektrodenladungen sindAnfangs- und Endpunkte derelektrischen Flussdichte D.

H t( )

A

K

A

K n

+Q t( )

Q t( )

D t( )

H t( )

H t( )

i t( )

i t( )

u t( )

u t( )

n

L A

L

J t( )

Der Kondensator VI


(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:

Q = D n dAdFAk

dQ

dt=d

dtD n dA

dF

= iAk

i= J nL dAAL

-44-

23

• Es sieht so aus, als würde die Leitungs-stromdichte J zwischen den Plattendurch die sogenannte Verschiebungs-stromdichte JD = dD/dt fortgesetzt, fallsdie Elektrodenladungen zeitabhängigsind.

• Die Verschiebungsstromdichte schliesstden Stromkreis Quelle-Kondensator;selbst bei Vakuum (!) zwischen denElektrodenplatten.

Der Kondensator VII



i = J nL dA =

AL

dQ

dt=d

dtD n dA

dFAk

=dD

dtn dA

Ak

:= JD n dAAk

interessante Interpretation !

dD

dt

i t( ), j t( )

i t( ), j t( )

u t( )

-45-

• Frage : Ist die Verschiebungsstromdichte dD/dt wirklich eine physikalische Stromdichte zumal ja keine Ladungsträger zwischen den Platten fliessen?

• Besser: Hat dD/dt die gleichen Eigenschaften wie eine reale Stromdichte?Will heissen: Kann die Verschiebungsstromdichte dD/dt auch ein Magnetfeld erzeugen?

Der Kondensator VIII



i = H dsC

=

= J nL dAAL

=dD

dtn dA

Ak

dD

dt

i t( )

u t( )

H

H

i t( ) H

• Antwort : Aus der Kontinuität von dD/dt und der Stromdichte J folgt über das Durch-flutungsgesetz der Nachweis des H-Feldes:

-46-

24

• Elektrische Ströme i / StromdichtenJ, als auch Verschiebungsströme /Verschiebungsstromdichten dD/dt sind Erzeugende des magneti-schen Feldes.

• Beide bestimmen das Magnetfeld in ihrer Umgebung entsprechend des um die Gesamtstromdichte erweiterten Durchflutungsgesetzes(siehe auch Folie 1-193):

Der Kondensator IX


(3) Das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz:

H dsC

= J n dAA

+d

dtD n dA

A

Jges = J +dD

dt

Antworten:

Der Strom fliesst bei zeitlich veränderlicherAnregung «durch» den Kondensator.

Der Verschiebungsstrom ist ein real exis-tierender Strom, der auch im Vakuum

«fliessen» kann. Im Dielektrikum lässt sichdieser Wechselstrom über die zeitlich ver-änderliche Polarisation versinnbildlichen.

(cf. Folie 1-193)

-47-

i

u

C

Der Kondensator X


(1) Schaltsymbol:

i = Cdu

dt

u =1

Ci( ) d

0

t

+ U0

Mathematisches Netzwerkmodell des Kondensators.

«Eimer-Analogie»:u: Füllstand; i: Volumenstrom; Q: Füllmenge C: Querschnittsfläche des Eimers

(3) Spannungen und Ströme:

(2) Definitionsgleichung:

Q = C u


-48-

25

Q,i,u ( )tQ

( )tu

( )ti

0

4T 2T 43T T t

a)

Q,i,u

( )tQ

( )tu

4T 2T 43T T t

( )ti

b)

0

Der Kondensator XI

Zeitliche Variation der

Zustandsgrössen

• Strom hat Nulldurchgang beiSpannungsextremum.

• Aus der Lage der Nulldurchgänge:Der elektrische Strom eilt derSpannung um T/4 voraus.

• Beim nichtsinusförmigen Verlaufhaben Strom und Spannungnicht mehr dieselbe Form.

• Komplikation bei Digitaltechnik.

u t( ) : Q t( ) u t( )

i t( ) u t( )

u t( ) := u sin t( )

-49-

d E D

+ Q A

u

Q

0 r

Der Kondensator XII

Im Kondensator gespeicherte Energie

Wel =1

2E D V =

1

2

u

dE

Q

AD

A d

V(Folie 1-107)

GleichwertigeAustrücke fürdie Energie.

Wel =1

2Q u

=1

2C u2

=1

2

Q2

C

Im elektrischen Feld eines Konden-sators wird Energie gespeichert. Siewird aus der Spannung u zwischen denElektroden, der Ladung Q auf den Elek-troden und der Kapazität C bestimmt.

-50-

26

Der Kondensator XIII

Spezielle Bauformen

(1) Der Kugelkondensator:

e = D n dAA

=

= D n dAA

= D dAA

=

= D dAA

= 4 r2 D =+ Q

• Berechnung des elektrischen Flusses e

durch die (gestrichelte) Kugelhüllfläche A:

• Aus Symmetriegründen ist das D-Feld rein radial gerichtet, wie auch der Flächen-

normalenvektor.

Aus Symmetriegründen ist das D-Feldauf der konzentrischen Hüllfläche konstant.

siehe Folie 1-60

-51-

E

E

max

Metall Metall Dielektrikum Luft

E

min

~1

r2

0 r ri

rai

ra

Der Kondensator XIV

Spezielle Bauformen


D =+ Q

4 r2

E =+ Q

4 0 r r2

Emax

=+ Q

4 0 r ri2

Emin

=+ Q

4 0 r rai2

-52-

27

Der Kondensator XV

Spezielle Bauformen


u = E dsri

rai

= E drri

rai

= E drri

rai

= E n drri

rai

= E drri

rai

=+ Q

4 0 rr2 dr

ri

rai

=+ Q

4 0 r

1

r ri

rai

=Q

4 0 r

rai rirai ri

• Die Spannung u:

• Die Kapazität C:

C =Q

u=4 0 r rai ri

rai ri=4 0 r

1ri

1rai( )

siehe Folie 42

Die Kapazität C ist wie aus Folie 42auch hervorgeht, nur von der Geo-metrie und dem Material abhängig.C , falls der Abstand null wird.

-53-

Qr0

n

u

ED

i

ai a D,E

u r0

Q+

n

n

Der Kondensator XVI

Spezielle Bauformen

(2) Der Zylinderkondensator:

• Idealisierung: >> , d.h. ver-

nachlässige die Streufelder.

• Es gibt daher nur radial aus-

gerichteteFelder.

• Aber:In der Praxissind die Kon-densatoreneher «kurz».

-54-

28

e = D n dAA

= D n dAAM

= D dAAM

= D dAAM

=2 D =Q

D =Q

2E =

Q

2 0 r

Emax

=Q

2 0 r i

Emin

=Q

2 0 r ai

u = E dsi

ai

= E d =

i

ai Q

2 0 r

di

ai

=Q

2 0 r

ln ai

i

Der Kondensator XVII

Spezielle Bauformen


• Berechnung des elektrischen Flusses e durch die Zylindermantelfläche AM:

C =Q

u=2 0 r

ln ai

i

• Berechnung der Kapazität C:

-55-

Metall Dielektrikum Metall Luft

~1

E

E

max

E

min

i 0

0

ai a

Der Kondensator XVIII

Spezielle Bauformen


E =Q

2 0 r

Emax

=Q

2 0 r i

Emin

=Q

2 0 r ai

-56-

29

Zuleitungen

Metall

Metall

Dielektrikum

Dielektrikum

Metall

a)

Metall-

Belegung

Dielektrikum

Zuleitungen

b)

Dielektrikum Drahtring

Metall-

Belegung

c) d)

Metall

Lot

Dielektrikum

Der Kondensator IXX


(a) Wickel-kondensator.

(b) Scheiben-kondensator

(c) Röhren-kondensator

(d) Chip- Kondensator.

Nicht abgebildet:Elektrolytkond.,Tantalkond.

0.1 pF – 0.1 F

0.5 F – 10 mF

-57-

Grundfarbe

50 V -

16 V -,25 V-

grün

violett

siehe Tabellenächste Folie

A B Mult. Tol.

Werkstoffe, hier nicht weiter

spezifiziert

Der Kondensator XX


Kennzeichnung der Kapazitätswerte:

Kennwerte von Zylinder-Kondensatoren(i.e. Röhrenkondensatoren):

-58-

30

Der Kondensator XXI


Kennzeichnung der Kapazitätswerte:

Kennwerte von Keramik- Scheibenkondensatoren:

Kapazitätswerte werdenaufgedruckt:

p63 = 0.63 pF

6p3 = 6.3 pF

63p = 63 pF

n63 = 0.63 nF = 630 pF

6n3 = 6.3 nF

Toleranzwerte werden mitKennbuchstaben gemäss Tabelle angegeben.

Grundfarbe des Kondensatorkörpers kenn-zeichnet die Werkstoffklasse, die Farbe deroberen Kappe das Material.

-59-

Der Kondensator XXII

Superkondensatoren als Energiespeicher

Elektrolyt-Kondensatoren («Elkos»):

Kondensatorbank z.B. für dieunterbruchsfreie Stromversorgungvon Rechnern und Kleinanlagen. 3000 F !

• Elektrolyt (flüssig, feucht) alsDielektrikum.

• Achtung! Polarität der An-schlüsse ist stets zu beachten!

-60-

31

Die Spule I

Die Toroidspule

(1) Aufbau und Abmesssungen:

Mit r >> 100:

• Tritt das Magnet-feld nur im Eisen-kern auf.

• Ist das Magnet-feld homogen

verteilt bezüglichder Breite b.

-61-

Die Spule II

Die Toroidspule

(2) Zum Betriebsverhalten:

Fall #1: Spule an Gleichspannung U:

• Es fliesst, abgesehen vom Einschaltvorgang, der Strom I, welcher nur durch den ohmschen Widerstand des Spuhlendrahtes gegeben ist.

Fall #2: Spule an Wechselspannung u:

• Die Zeitabhängigkeit der Spannung u(t) sei sinusförmigbzw. kosinusförmig und charakterisiert durch denScheitelwert û und die Kreisfrequenz .

• Verhältnis zwischen Strom und Spannung lässt sich hier nichtmehr so ohne Weiteres angeben!

• Wirkungen des Magnetfeldes müssen in das «Verhältnis» mit einbezogen werden.

• Stichwort: Induktionsgesetz.

I =U

R

u = u cos t( )

u i

H,B

-62-

32

H dsC

= H dsC

= H dsC

= H 2 r = = w i

H =w i

2 rB = μ0μr H = μ0μr

w i

2 r

Die Spule III

Die Toroidspule

(2) Das Magnetfeld:

• Gebrauch des Durchflutungsgesetzes:

Aus Symmetriegründen ist das H-Feld wie auch der Integrationsschritt ds auf C gleichsinnig gerichtet.

Aus Symmetriegründen ist das H-Feld entlangdes Integrationsweges C konstant.

-63-

Luft Eisenkern Luft

r~

1

mrir ar r

B

μ0μ

r

w i

2 ri

μ0μ

r

w i

2 rm

μ0μ

r

w i

2 ra

Die Spule IV

Die Toroidspule

(2) Das Magnetfeld:

• Die magnetischeFlussdichte istkonstant entlangder Breite b.

• Die magnetischeFlussdichte variiert

mit dem Radius r,d.h. entlang derDicke a der Toroid-spule.

-64-

33

Die Spule V

Die Toroidspule

(2) Der magnetische Fluss:

Näherungsrechnung für kleine Werte der Dicke a; d.h. die magnetische Flussdichte istnäherungsweise konstant über den Querschnitt A = a·b.

a = ra ri( ) klein

m = B n dAA

=μ0μr w i

2b

1

rri

ra

dr m =μ0μr w b

2ln

rari

i

B Bm =μ0μr w i

2 rm=μ0μr w i

= const. rm =ra + ri2

m Bm n( ) A m =μ0μr w A

i

-65-

Die Spule VI

Die Toroidspule

(3) Zum Induktionsgesetz:

uind =d m

dt=

uind =μ0μr w b

2ln

rari

di

dt

• Induzierte Spannung in einer Windung gemäss der magnetischen Flüsse aus Folie 65:

(vergleiche hierzu auch Folien 1-285 ff.)

uind =d m

dt=

uind =μ0μr w A di

dt

(A) exakt:

(B) genähert:

-66-

34

B

n

n

B

0ind <i

0>i

0d

d m>+=

tu

0d

d a)

m>

t

0d

d b)

m<

t

0d

d m<+=

tu

0>i

R

0ind >i

0ind <u

0ind >u

R

1

1‘

1

1‘

Die Spule VII

Induzierte Spannung und induktive Spannung

Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:

• Angelegte Spannung u bewirkt einen elektrischen Strom i in der Schleife

(Richtungen nach dem Verbraucher-pfeilsystem).

• Annahme: Es sei du/dt > 0 und somitauch di/dt > 0.

• Magnetische Flussdichte B und Flächen-normalenvektor sind gleichsinnig gerichtet.

• Magnetischer Fluss m mit Bezugspfeil ent-sprechend dem Flächennormalenvektorwird daher positiv berechnet: d m/dt > 0.

• Induzierte Spannung uind in einer Win-dung, die im Rechtsschraubensinn zumFlächennormalenvektor gezählt wird, istwegen uind = – d m/dt negativ !

-67-

Die Spule VIII

Induzierte Spannung und induktive Spannung

Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:

• Maschenspannung in der Leiterschleife (cf. hierzu auch Beispiel aus Folie 1-266):

R i t( ) u t( ) = uind =d m

dtR 0 :

u t( ) = uind =d m

dt

u t( ) = uind = +d m

dt

u = uind

(ideale Spule ohne ohm’schen Widerstand)

Induktive elektrischeSpannung

Fliesst durch die Leiterschleife(Spule) ein zeitabhängiger elektrischerStrom, so wird in der Schleife eineSpannung uind induziert, welche denAufbau des Magnetfeldes (bzw. denStromfluss) zu verhindern versucht(Lenz’sche Regel). Es muss vonaussen eine Spannung u angelegtwerden, die gerade uind kompensiert,damit ein Strom fliessen kann.

Haben die Spannung u und derStrom i gleichgerichtete Bezugspfei-le (Verbrauchersystem), dann ist dieSpannung u gleich der negativeninduzierten Spannung uind und heisst«induktive elektrische Spannung».

-68-

35

• Bisherige Betrachtungen waren bezüglich einer Windung.

• Bei w Windungen umschliesst der Spulendraht den magnetischen

Fluss m w mal; oder:

• Der magnetische Fluss m durch-setzt die vom Spulendraht aufge-spannte Fläche w mal. Damit ist:

• Die Grösse = w· m heisst verketteter magnetischer Fluss.

• Einheit: [ ] = [ m ] = Vs = Wb.

Die Spule IX

Der verkettete magnetische Fluss

Spule mit w Windungen:

u = wd m

dt=:d

dt

Induktive elektrische Spannung

-69-

(A) exakt:

Die Spule X

Die Induktivität der Spule

Beispiel: «Toroidspule»

= w m =μ0μr w

2b ln rari( )

2i

= w m =μ0μr w

2 Ai(B) genähert:

Der mit der Spule verkettete magnetische Fluss ist direkt proportional zur Stromstärke i durch

die Spule. Die Proportionalitätskonstante heisstInduktivität L der Spule. L hängt nur von derGeometrie und dem Material der Spule ab.

= L i(C) allgemein:

L =i

L[ ] =Vs

A= H «Henry»

L =μ0μr w

2b ln rari( )

2

L=μ0μr w

2A

w2 A 1( )

-70-

36

u,,i ( )t

4T 2T 43T T t

0

(t)u

(t)i

Die Spule XI

Zeitliche Variation der Zustandsgrössen

u = wd m

dt=d

dt= L

di

dt

Die elektrische Spannung ueilt dem Strom i durch dieSpule eine Viertelperiodevoraus, bzw. der Strom iist nacheilend.

u t( ) = Ldi t( )dt

i t( ) := i cos t( )

-71-

a)

b)

u

u

i

i

L

L

Die Spule XII


(1) Schaltsymbol:

= L i

MathematischesNetzwerkmodellder Spule

u = Ldi

dti =

1

Lu ( ) d

0

+ I0

(2) Definitionsgleichung:

(4) Spannungen und Ströme:

(3) Zum Netzwerkelement:

• Idealisierung besteht in der Ver-nachlässigung des Drahtwiderstan-des und der Wicklungskapazität.

• (a) Altes IEC-Symbol;(b) Aktuelles DIN-Symbol.


-72-

37

μ

0μ

r A

i

a

w

a

Die Spule XIII

Energieinhalt der Spule

(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:

Wm =1

2H B V = :

1

2H B V

• Herleitung siehe Folien 1-283 bis 1-287:

A = a2

• Voraussetzungen: Lange Spule, Magnet-feld nur im Innern vorhanden; äusseresStreufeld wird vernachlässigt:

H = H e B = B e

H =w i

B =μ0μr w i

= w m = w B n( ) a2

-73-

Die Spule XIV


(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:

• Induktivität: Zeigt den selben Ausdruck wie bei der Näherungsrechnung für die Toroid-Spule (Folie 70).

= w B n( ) a2 =μ0μrw

2a2i

L =i=μ0μrw

2a2=μ0μrw

2A

• Formfaktor der Induktivität ist das Feldvolu-men, welches wie folgt parametrisiert ist.

V = A : Mittellinie

A: Querschnittsfläche

A

-74-

38

Die Spule XV


(2) Im Magnetfeld gespeicherte Energie:

Mit dem H- und dem B-Feld aus Folie 73 ergibt sich für die Energie:

H =w i

B =μ0μr w i

Wm =1

2

w i μ0μr w iVA

Wm =1

2

μ0μr w2 A

i2 =1

2L i2

Wm =1

2

μ0μr w2 A

i i =1

2i

Wm =1

2

μ0μr w2 A

1

2=1

2

2

L

Wm =1

2L i2

Wm =1

2i

Wm =1

2

2

L

Äquivalente Darstellungen

-75-

Die Spule XVI

Berechnung spezieller Induktivitäten

Beziehungen zur Induktivität:

Die Induktivität lässt sich auch ohne ver-ketteten Fluss, d.h. über den Energieinhaltder Spule bestimmen: innere Induktivität.

= L i

u = Ldi

dt

L

Wm =1

2L i2 L =

2 Wm

i2

Die Bestimmung von Induktivitäten sollnun anhand von zwei Beispielen ausder Praxis dargestellt werden. Hierbeiwerden zwei verschiedene Anteile derInduktivität in Erscheinung treten.

-76-

39

Die Spule XVII

Beispiel: «Zweidrahtleitung»

(1) Betrachtete Anordnung:

• In der unendlich langen Doppelleitung wird die Fläche unendlich gross.

• Der magnetische Flussist auch unendlich gross.

• Wie erfasst man L ?

• Induktivitätsbelag L’ = H/m

Aa: «äussere»Fläche

Ai: «innere»Fläche

H =i

2 xez

i

2 d x( )ezIn der xy-Ebene:

-77-

Die Spule XVIII


(2) Die äussere Indukivität La:

Den verkettete Fluss durch die «äussere» Fläche mit der erzeugenden Stromstärke in Verbindung bringen.

a =

w=1

ma = B n dAAa

=μ0i

2

1

x+

1

d x0

d 0

dx

=μ0i

2ln

d 0

0

ln 0

d 0

=μ0i ln

d 0

0

La =La = a

i=μ0 ln

d 0

0

d 0 La =μ0 ln

d

0

negatives Vorzeichenfällt weg, da das B-Feld und der Bezugs-pfeil von m die gleicheRichtung (-z) haben.

-78-

40

0 2 4 6 8 10 12 cm d

0

2

4

La

μ0

0

0,2 cm

0,4 cm

1,0 cm

2,0 cm

Die Spule XIX


(3) Der äussere Indukivitätsbelag La’:

La =μ0 ln

d

0

-79-

Die Spule XX


(4) Die innere Indukivität Li :

Ai =A1 +A2

• Durch die innere Fläche Ai

tritt auch ein verketteter Fluss.

• Symmetrie: Es muss der ge-samte verkettete Fluss nur füreinen Leiter berechnet wer-den. Für beide Leiter gilt dannentsprechend das Doppelte.

• Abstand d >> 0 der Leiter sei gross: nur «eigenes» H-Feld zählt innerhalb von 0.

• Im Leiterinnern A1 ist der Fluss nicht mehr mit dem gesamten

Strom i verkettet; es gilt:

Ai : «innere»Fläche

i =i

02 x2 = i

x2

02

-80-

41

Die Spule XXI



H =i

2 02 B =

μ0μr i

2 02

Wmi =1

20

0

H B 2 d =

=μ0μr i

22

8 204

3d0

0

=μ0μr i

2

16

• Die Durchdringung des verketteten Flusses mitdem zugehörigen «ortsabhängigen» Strom be-darf einer allgemeinen Fassung von = L·i.

• Wir gehen den anderen Weg über die Energie:

Folie 1-196

-81-

Die Spule XXII



Li = 22 Wmi

i2 =

μ0μr

4

Der Faktor 2 steht für die Berück-sichtigung der beiden Leiter.

(5) Die gesamte Indukivität L:

L = La + Liμ0 ln

d

0

+μ0μr

4

(6) Der Induktivitätsbelag L’ der Doppelleitung :

L =L μ0 ln

d

0

+μr

4

Die Doppelleitung setzte sich auseinem äusseren und inneren Be-reich zusammen: Induktivitäts-beiträge können addiert werden.

-82-

42

Die Spule XXIII

Beispiel: «Koaxialleitung»

(1) Zur Anordnung:

Das Magnetfeld der Koaxialleitungwurde bereits auf Folie 1-208 bis1-211 hergeleitet:

B =μ0μr i

2 i2

B =μ0 i

2

B =μ0μr i

2 i2 1

2ai2

a2

ai2

Leiterabschnittder Länge

-83-

a = ma = B n dAA

=μ0i

2d

i

ai

=μ0i

2ln ai

i

La =a

i=μ0

2ln ai

i

Die Spule XXIV


(2) Die äussere Indukivität La:

Die äussere Induktivität ergibt sichaus der Verkettung des magnetischenFlusses im «Leiterzwischenraum» mitder erzeugenden Stromstärke.

(3) Die innere Indukivität Li:

Die innere Induktivität berechnet sich wiederum über dieEnergie unter Berücksichtigung der magnetischen Felder ausFolie 82. Die resultierenden Ausdrücke sind kompliziert undsollen hier nicht explizit hergeleitet werden.

-84-

43

Wmi =μ0μr i

2

16+μ0μr i

2

41+

2 ai2

a2

ai2 +

2 ai4

a2

ai2( )

2 ln a

ai

1 ai2

a2

ai2 + a

2 + ai2

4 a2

ai2( )

Li =μ0μr

8+μ0μr

21+

2 ai2

a2

ai2 +

2 ai4

a2

ai2( )

2 ln a

ai

1 ai2

a2

ai2 + a

2 + ai2

4 a2

ai2( )

Die Spule XXV



Beitrag des (einzigen)Innenleiters (cf. Folien81 und 82).

-85-

Li =μ0μr

8+μ0μr

21+

2 ai2

a2

ai2 +

2 ai4

a2

ai2( )

2 ln a

ai

1 ai2

a2

ai2 + a

2 + ai2

4 a2

ai2( )

Die Spule XXVI



Beitrag desInnenleiters(konstant)

Beitrag desAussenleiters(sehr klein)

L = Li + Laμ0μr

8+μ0

2ln ai

i

(4) Der Induktivitätsbelag der Koaxialleitung L’:

(siehe hierzu auch Folie 84)

-86-

44

0 2 4 6 8 10 cm ai

L i , μr =1

La

i = 0,1cm

0

2

4

6

8

10

12

14

16

La

μ0

8

,

L i

μ0

8

La

i = 0,5 cm

Die Spule XXVII


(5) Zum Induktivitätsbelag der Koaxialleitung:

Lμ0

2ln ai

i

+μr

4

La Li

Wandstärke des Aussen-leiters: 0.2 cm.

Merke: Falls i gross wird,d.h. in die Nähe von ai

rückt, dann kann der Bei-trag von Li’ gross werden.

hier gemäss Formel aus Folie 86

-87-

Die Spule XXIX

Bauformen technischer Spulen

(1) Auswahl verschiedener Spulentypen:

Bauarten:

• Luftspulen (> 500 MHz)

• Spulen mit Magnetkern

• Toroidspulen

• Schalenkernspulen

Spulenkerne:

• Geschichtete, mit Papierisolierte, dünne Eisen-bleche mit r = 100 –10’000.

• Ferrit-Kerne, d.h. gesin-tertes Eisenoxid-Keramikfür mittelfrequente An-wendungen.

Integrierte Mikro-wellen-Spulen(1 GHz – 0.5 THz)

-88-

45

(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1: Das Magnetfeld bzw. Fluss 11

wird erzeugt:

Das Magnetfeld der Spule 1 koppelt auch in die Spule 2:

Gekoppelte Spulen I

Die Gegeninduktivität

(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:

11 = w1 m1 =

= w1 B1 n1 dAA1

21 = w2 m21 =

= w2 B1 n2 dAA2

-89-

(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1:

m21 ist der von der Spule 1 durch den Querschnitt A2 der

Spule 2 erzeugte magnetischeFluss, welcher den mit derSpule 2 verketteten magne-tischen Fluss 21 hervorruft.Wir schreiben nun:

Eigen-Induktivität

Gegen-Induktivität

M21 = f(Geometrie 1 und 2, gegenseitige Lage)

Gekoppelte Spulen II



11 = L1 i1

21 =M 21 i1

-90-

46

(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:(der Strom i1 := 0 A)

Das Streufeld der Spule 2 koppelt auch in die Spule 1und es ergibt sich:

Gekoppelte Spulen III



22 = w2 m2 =

= w2 B2 n2 dAA2

12 = w1 m12 =

= w1 B2 n1 dAA1

-91-

Gekoppelte Spulen IV



(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:

m12 ist der von der Spule 2 durch den Querschnitt A1 der

Spule 1 erzeugte magnetischeFluss, welcher den mit derSpule 1 verketteten magne-tischen Fluss 12 hervorruft.Wir schreiben nun:

Eigen-Induktivität

Gegen-Induktivität

M12 = f(Geometrie 1 und 2, gegenseitige Lage)

22 = L2 i2

12 =M12 i2

-92-

47

Gekoppelte Spulen V


(2) Zwei stromführende Spulen:

Durch Spule 1 fliesst Strom i1 und gleichzeitig fliesst durch Spule 2 der Strom i2:Da alle Beziehungen linear sind können die damit verknüpften verketteten Teilflüsseüberlagert werden:

1 = L1 i1 +M12 i2

2 =M 21 i1 + L2 i2

1 = 11 + 12

2 = 21 + 22

Frage: Wie verhalten sich die beiden Gegeninduktivitäten M12 und M21 zueinander? Annahme: der Raum zwischen den beiden Spulen sei isotrop.

Es sei: (1) i1 = I1 und i2 = 0: Erstes Gedankenexperiment.

Wm1 =1

2L1 I1

2 Wm2 = 0

-93-

Wm =1

2L1I1

2+ uind1i1 uind2i2( ) dt

0

t

=

=1

2L1I1

2+ M12I1 di2

0

I2

+ L2I2 di2 =0

I2 1

2L1I1

2+M12I1I2 +

1

2L2I2

2

Gekoppelte Spulen VI



(2) i1 = I1 und i2 = 0 I2 : Verkopplung führt nun zur gegenseitigen Beeinflussung, d.h.zur Änderung der verketteten Flüsse in Spule 1 und Spule 2. Dadurch wird in beidenSpulen je eine (Gegen-)Spannung induziert.

uind1 =d 12

dt= M12

di2dt

uind2 =d 21

dt= M 21

di1dt

Damit i2 = 0 I2 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes diese Gegenspannungenüberwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie im Feld gespeichert.

Energieinhalt Spule 1

Arbeit um die durch di2 in Spule 1 induzierte Spannung zu überwinden.

Arbeit für Feld-Aufbau in Spule 2

-94-

48

Gekoppelte Spulen VII



(4) i2 = I2 und i1 = 0 I1 : Damit i1 = 0 I1 müssen beim Aufbau des Magnetfeldesdiese Gegenspannungen überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energieim Feld gespeichert.

Wm =1

2L2I2

2+ M 21I2 di1

0

I1

+ L1I1 di1 =0

I1 1

2L2I2

2+M 21I2I1 +

1

2L1I1

2

(3) i2 = I2 und i1 = 0: Umgekehrtes Gedankenexperiment.

Wm1 = 0 Wm2 =1

2L2 I2

2

(5) Fazit: Da im Endzustand in beiden Gedankenexperimenten jeweils die gleichen Ströme fliessen müssen,

gilt für die Gegeninduktivitäten:

M12 = M 21 :=MGekoppelte Spulensind bezüglich dergegenseitigen Ver-kopplung reziprok.

-95-

Gekoppelte Spulen VIII


(3) Zusammenfassung:

1 = L1 i1 +M i2

2 = M i1 + L2 i2

Der verkettete magnetische Fluss inzwei magnetisch verkoppelten Spulenist direkt proportional zu den elektri-schen Stromstärken in den Spulen

Die Proportionalitätskonstanten sinddie Eigeninduktivitäten L1 und L2 derbeiden Spulen sowie die Gegen-induktivität M zwischen den Spulen.

Für die Einheiten gilt demnach:

[L1] = [L2] = [M] = Vs/A = H (Henry)

u1 = L1di1dt

+Mdi2dt

u2 = Mdi1dt

+ L2di2dt

Die an den Klemmen zweier gekoppeltenSpulen anliegenden elektrischen Span-nungen u1 und u2 setzen sich aus zweiAnteilen zusammen: Der eine Anteil istProportional zur Stromänderung in derbetrachteten Spule, der andere Anteil istproportional zur Stromänderung in derverkoppelten Spule.

-96-

49

Gekoppelte Spulen IX

Die Bezugspfeilordnungen

(1) Die physikalische Anordnung: • Verbraucherbezugspfeilsystem

• Bezugspfeile werden an den beiden Spulen so gewählt,

dass die jeweiligen Bezugspfeileder Stromstärken bzw. der Span-nungen parallel zueinander liegen.

• Flächennormalenvektor bzw.der Bezugspfeil des verkettetenmagnetischen Flusses steht zurelektrischen Stromstärke imRechtsschraubensinn.

• (a) Gleichsinnig gewickelt: Jeeinen positiv verketteten FlussMit L1 und L2 > 0 M > 0

• (b) Gegensinnig gewickelt: DieSpule 1 hat einen positiven, dieSpule 2 einen negativen Fluss.Mit L1 und L2 > 0 M < 0gleichsinnig gewickelt gegensinnig gewickelt

-97-

Gekoppelte Spulen X


(2) Schaltsymbole der gekoppelten Spulen:

Gleichsinnig gewickelteSpulen (Punkte an glei-chen Enden)

Gegensinnig gewickelteSpulen (Punkte an un-gleichen Enden)

GleichwertigeSchaltsymbole

M < 0

M > 0

Niederfrequenz-und Energietechnik

Hochfrequenz-technik

-98-

50

M

M < 0

u1

i1

L1

a) b)

i1

i2 i2

u1 u2 u2

M

M > 0

L1 L2 L2

Gekoppelte Spulen XI


(3) Wicklungssinn und Bezugspfeilordnung:

Ändert man die Bezugspfeilordnungan einer der beiden Spulen, dannverändern sich (logischerweise) dieVorzeichenverhältnisse erneut.

-99-

Gekoppelte Spulen XII

Streufaktor und Kopplungsfaktor

(1) Streuflüsse: Streuflüsse der Spulen 1 und 2:

m 1 = m1 m21

m 2 = m2 m12

Streufaktoren der Spulen 1 und 2:

1 =m 1

m1

=m1 m21

m1

= 1 m21

m1

2 =m 2

m2

= 1 m12

m2

-100-

51

Gekoppelte Spulen XIII


(1) Streuflüsse:

Streufaktoren der Spulen 1 und 2:

1 = 1m21

m1

= 1w1Mi1w2L1i1

= 1w1M

w2L1

2 = 1m12

m2

= 1w2Mi2w1L2i2

= 1w2M

w1L2

Es gilt zudem:

= L i m =L

wi

m1 =L1w1

i1 m21 =M

w2i1

m2 =L2w2

i2 m12 =M

w1i2Streufaktoren sind ein Mass dafür, wie gross

der Anteil des magnetischen Flusses dereinen Spule ist, welcher die andere Spulenicht durchsetzt.Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig

m1 = m21 1 = 0

-101-

Gekoppelte Spulen XIV


(2) Kopplungsfaktoren:

Kopplungsfaktoren zwischen den Spulen 1 und 2:

k1 =m21

m1

=w1M

w2L1k1 = 1 1

k2 =m12

m2

=w2M

w1L2k2 = 1 2

Kopplungsfaktoren sind ein Mass für die Ver-kopplung der beiden Spulen miteinander.Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig

m1 = m21 k1 = 1

k1 <1 1 > 0

k2 <1 2 > 0

Für reale Spulen gilt immer:

Typischerweise haben dieStreufaktoren eher kleineWerte, d.h. die Kopplungs-faktoren gehen gegen eins.

-102-

52

Gekoppelte Spulen XV


(3) Gesamtstreufaktoren und Gesamtkopplungsfaktoren:

Die Gesamtkopplungs- bzw. Gesamtstreufaktoren erfolgen aus einer Mittelwertbildung:

k = k1 k2 =m21

m1

m12

m2

=M 2

L1 L2=

M

L1 L2k =

M

L1 L2

= 1 k2 = 1M 2

L1 L2

= 1 k2 = 1 k1 k2 = 1 1 1( ) 1 2( ) = 1 1+ 1 + 2 1 2

1 + 2 1 + 2

Näherung für kleine Streufaktoren 1 und 2:

-103-

z d1

w1 i1

H1,B

1 n1

1

H2,B

2

d2

i2

n2

2

1

2

w2

Gekoppelte Spulen XVI

Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»

(1) Anordnung:

Voraussetzungen:

• Äussere Spule ist ideal, d.h. Streufeld wird vernachlässigt.

• Für = 0 sind die beidenSpulen gleichsinnig gewickelt.

• Es sei zuerst nur die äussereSpule angeschlossen, d.h.i1 0 und i2 = 0.

Gesucht:

• Die Gegeninduktivität M derangegebenen Anordnung.

-104-

53

z d1

w1 i1

H1,B

1 n1

1

H2,B

2

d2

i2

n2

2

1

2

w2

Gekoppelte Spulen XVII


(2) Magnetfeld und magnetischer Fluss:

Äussere Spule 1:

H1 =w1i1

1

B1 =μ0w1i1

1

m21 = B1 n2 dAA2

=μ0w1i1

1

cosA2

( ) dA

Fluss in innerer Spule 2:

m21 =μ0w1i1

1

cos( )d22

4

-105-

z d1

w1 i1

H1,B

1 n1

1

H2,B

2

d2

i2

n2

2

1

2

w2

Gekoppelte Spulen XVIII


(3) Verketteteter magnetischer Fluss:

Mit der inneren Spule 1 ist dem-nach der folgende magnetischeFluss verkettet:

21 = w2 m21

=μ0w1w2 i1

1

cos( )d22

4

Für die Gegeninduktivität M giltdaher die einfache Beziehung:

M = 21

i1=μ0w1w2 d2

2

4 1

cos( )

-106-

54

z d1

w1 i1

H1,B

1 n1

1

H2,B

2

d2

i2

n2

2

1

2

w2

Gekoppelte Spulen XIX


(3) Alternative Berechnung der Gegeninduktivität:

• Man hätte auch umgekehrt, mitder inneren Spule 2 beginnenkönnen; d.h. i1 = 0 und i2 0.

• Das Streufeld der kurzen, inneren Spule 2 müsste dabeiaber bei der Berechnung mitbe-rücksichtigt werden, da diesesStreufeld die Spule 1 durchsetzt.

• Diese Berechnung ist sehr, sehraufwändig!

• Wir nutzen besser die Rezipro-zitätseigenschaft: M12 = M21 = M.

• Merke: M( ) ist variabel!M = 0 = (2n+1)· /2M lässt sich negativ einstellen

Diese Anordnung mit einstellbarerGegeninduktivität heisst Variometer.

-107-

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