sfe dreieich-sprendlingen

Exponentialfunktionen- Eine kleine Anleitung -

Andreas Zacchi

SfE Dreieich-Sprendlingen

Wintersemester 2012/2013

Schule fur Erwachsene Andreas Zacchi

Frankfurter Strasse 160-166 [email protected]

63303 Dreieich http://user.uni-frankfurt.de/∼zacchi

Tel.: 06103 - 3131 6840

www.sfe3e.de

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

1.1 Ruckblick Q I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Exponentialfunktionen 3

2.1 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Wachstum als Funktion auffassen . . . . . . . . . . . . 6

3 Die Zahl e 8

4 Die e-Funktion 12

4.1 Ableitung einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Ableitung der e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Ableitungsregeln 17

5.1 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1.1 Beispiele zur Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 Beispiele zur Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Kurvendiskussion 25

6.1 Losung Teil i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2 Losung Teil ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Losung Teil iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.4 Losung Teil iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.5 Losung v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

1Einleitung

1.1 Ruckblick Q I

In der Qualifikationsphase I haben wir uns mit dem Differentialquotienten

beschaftigt. Mit seiner Hilfe haben wir dann gesehen, wie man ganzratio-

nale Funktionen ableitet bzw. differenziert, um nach charakteristischen

Punkten, den Extrem- und Wendepunkten, zu suchen.

Das ganze Verfahren nennt man Kurvendiskussion.

In dieser kleinen Anleitung bauen wir auf das Gelernte auf, und schauen uns

an, wie man Exponentialfunktionen und im besonderen die e-Funktion

differenziert um mit diesen Funktionsklassen eine Kurvendiskussion durch-

zurechnen.

2

2Exponentialfunktionen

In diesem Kapitel wollen wir uns langsam uber allgemeine Exponentialfunk-

tionen (z.B.: f(x) = ax mit a ∈ R und a 6= 0) an das eigentlich Thema des

Semesters, die e-Funktion, herantasten.

Die e-Funktion weist besondere Eigenschaften auf, fur deren besseres Verstandnis

eine kleine Wiederholung des Stoffes vom Ende der Einfuhrungsphase II si-

cher geeignet sein wird.

2.1 Exponentielles Wachstum

Im Gegensatz zu linearem oder gar quadratischem Wachstum, wachst der

Funktionswert f(x) = y einer Exponentialfunktion ungleich schneller an.

Abbildung (2.1) verdeutlicht den Sachverhalt. Dargestellt ist

der lineare Verlauf, die Gerade g(x) = 2x,

der quadratische Verlauf, die Parabel f(x) = x2,

sowie der exponentielle Verlauf, die Exponentialfunktion fa(x) = ax

wobei a = 2 ist.

Wahrend alle drei Funktionen um den Ursprung noch ahnlich ansteigen,

ist bei großen x der weitere Verlauf deutlich anders. Bei der Geraden ist die

3

Exponentialfunktionen 4

Abbildung 2.1: Die Funktionen g(x) = 2x, f(x) = x2 und f2(x) = 2x

Steigung zu jedem x-Wert dieselbe, namlich 2 (g(x) = 2x → g′(x) = 2).

Interpretiert man die Gerade beispielsweise als eine Taxifahrt (ohne Grund-

gebuhr), wurde jeder gefahrene Kilometer 2 Euro kosten, auch nach bereits

100 gefahrenen Kilometern.

Die Parabel hingegen hat keine konstante Steigung. Bei ihr wird der Wert

von x mit 2 multipliziert (f(x) = x2 → f ′(x) = 2x). Die Exponentialfunktion

hingegen wachst mit großer werdendem x explosionsartig an. Fur kleine x

lauft die Funktion asymptotisch gegen Null1. Wie man sie zur Bestimmung

der Steigung differenziert, sehen wir in Kapitel (4.1). Im Fall der Exponen-

tialfunktion liegt das explosionsartige Wachstum (anschaulich) daran, dass

jedes neu”Hinzukommende“ etwas zum bereits

”Vorhandenen“ beitragt. Ein

Beispiel soll dies verdeutlichen.

1Fur negative x lauft sie gegen die x-Achse, die sie aber nie erreicht


2.1.1 Ein Beispiel

Das hier vorgestellte Beispiel sollte bereits aus der Einfuhrungsphase II be-

kannt sein.

i. Eine Bakterienkultur enthalt bei Versuchsbeginn 700 Bakterien. Der

Bestand verdoppelt sich innerhalb von 25 Minuten.

i.i) Wie viele Bakterien enthalt die Kultur nach einer

i.ii) bzw. 2,5 Stunden?

Geht man das Problem in Minuten an bekommt man nach Bt = B0 ·at, wobei

B0 dem Startwert der Kultur, Bt dem Wert der Kultur nach t-Zeiteinheiten,

t die Zeiteinheiten und a die zu ermittelnde Konstante bedeuten, folgende

Gleichung zu losen.

Bt = B0 · at (2.1)

2 · 700 = 700 · a25 | : 700 (2.2)

2 = a25 | 25√

2 (2.3)

a =25√

2 (2.4)

a u 1.02811 (2.5)

Damit kann man nun die Aufgabe fur eine Stunde (=60 Minuten) bzw. fur

2,5 Stunden (=150 Minuten), oder fur jedwede andere Zeit t, losen.

i.i) B60 = 700 · a60 u 700 · 1.0281160 ≈ 3694 Bakterien.

i.ii) B150 = 700 · a150 u 700 · 1.02811150 ≈ 44798 Bakterien.

Man startet also mit 700 Bakterien, nach 25 Minuten hat man jeweils doppelt

so viele. Dies bedeutet, dass die Bakterien, die neu hinzugekommen sind, sich

auch am Vermehrungsprozess beteiligen und man so nach beispielsweise 250

Minuten nicht etwa 7000 Bakterien (das ware lineares Wachstum), sondern

circa 716133 Bakterien vorfindet. Abbildung (2.2) verdeutlicht den rasanten


Abbildung 2.2: Die Funktion B(t) = 700 · at = 700 · 25√

2t

Anstieg. Erneut als allgemeine (der Startwert B0 als auch die Konstante a

konnen ja von Fall zu Fall verschieden sein) Formel dargestellt:

Bt = B0 · at (2.6)

Man uberzeugt sich nach Gleichung (2.6) leicht davon, dass nach 50 Minuten

2800 und nach 100 Minuten 11200 Bakterien vorhanden sind, so wie es ja

auch sein soll (Verdopplung innerhalb von 25 Minuten).

2.1.2 Wachstum als Funktion auffassen

Bisher kennen wir exponentielles Wachstum nur wie in Abschnitt (2.1.1)

gezeigter Darstellung. In Wahrheit hat man es mit einer exponentiellen

Funktion (Abbildung 2.2) zu tun.

In diesem Fall hat man es nicht mit einem allgemeinen f(x) = y zu tun,

sondern mit einer konkreten Anwendung, namlich Bakterienwachstum. Daher

benennt man seine Variablen und Konstanten auch entsprechend (B=Anzahl


der Bakterien, t=time=Zeit) um.

Bt = B0 · at (2.7)

B(t) = 700 · at (2.8)

Gleichung (2.7) hat den Charakter einer Funktion:

Wie andert sich B mit laufendem t2.

2Man erinnere sich beispielsweise an eine Wertetabelle fur eine, im einfachsten Fall,Funktionsgleichung einer Geraden: Wie andert sich y in Abhangigkeit von x.

3Die Zahl e

Bereits beim Problem der Verzinsung von Kapital sind wir auf folgendes Pro-

blem gestoßen:

Habe ich ein Kapital K von beispielsweise 10.000e und bringe es zur Jahres-

bank (welche nur jahrlich mit 6 % verzinst) bekomme ich nach einem Jahr

10.600 Euro, nach zwei Jahren dann 10.000 ·(1 + 6

100

)·(1 + 6

100

)= 11.130e

(usw.).

Bringe ich es zur Halbjahresbank (die so heißt, weil sie nur halbjahrlich und

auch nur mit der Halfte verzinst), bekomme ich bereits nach einem halben

Jahr 10.300e, nach einem Jahr aber bereits 10.000 ·(1 + 3

100

)·(1 + 3

100

)=

10.609e (usw.).

Wurde ich es zur Montatsbank (die so heißt, weil sie nur monatlich und auch

nur mit 612

= 0.5 % verzinst), bekame ich nach einem Monat 10.050 Euro,

nach zwei Monaten 10.100,25e, nach einem Jahr dann aber 10.616,77e, was,

verglichen mit der Jahresbank ja immerhin 16,77e mehr sind (In 10 Jahren

dann erst...). Als Formel:

Kz = K0 ·(

1 +p

100

)z(3.1)

K12 = 10.000 ·(

1 +0.5

100

)12

(3.2)

K12 = 10.616, 77 (3.3)

8


wobei K0 das Kapital zu Anfang (hier 10.000e), Kz das Kapital nach z-

Zeiteinheiten (hier: Monate), z die Zeiteinheiten und p der Prozentsatz (hier:

0.5%) ist.

Ausfuhrlich ware der Rechenweg folgender:

10.000 ·(

1 +0.5

100

)· ... ·

(1 +

0.5

100

)= 10.616, 77

Hier bereits ist die Verwendung von einer”Formel“ (3.1) sinnvoll, da man

sonst ein Produkt mit 1+12 Faktoren rechnen musste (Fur 10 Jahre dann

erst...). Sieht man sich an dieser Stelle das Rechenbeispiel (2.1.1) noch einmal

an, wird man eine Ahnlichkeit zu Gleichung (2.6) feststellen. Denn nenne ich(1 + p

100

)= a, habe ich exakt die gleiche Formel, nur das meine Bakterien B

nun Kapital K in e sind.

Auch Kapital wachst exponentiell (leider nur nicht so schnell wie Bakte-

rien).

Vergleiche ich nun die Betrage, welche ich nach einem Jahr bei den verschie-

denen Banken ausbezahlt bekame, so konnte ich ja auch die Idee kommen,

zur Millisekundenbank zu wechseln, da durfte das Kapital nach einem Jahr

noch hoher sein (ist es, wenn auch nur geringfugig, auch).

Wurde ich mir nun uberlegen, instantan, also praktisch ohne Zeitverzug zu

verzinsen, so sollte ich ja an den Maximalbetrag kommen, den ich bei festem

Prozentsatz nach einem Jahr ausbezahlt bekame. Teile ich das Jahr also in

beliebig viele Zeiteinheiten z, erhalte ich eine Formel zur Berechnung des an-

gelegten Kapitals. Mathematisch lasst man z →∞ laufen. Tatsachlich lauft

das Kapital (nach einem Jahr bei gleichem Prozentsatz) gegen einen maxi-

malen Grenzwert, weil die Zahl a gegen einen konstanten Grenzwert lauft.

Diesen zu ermitteln, ist nicht schwer.

Im Nenner stehen nun auch die Zeiteinheiten z, (6% bei einem Jahr, 3%

bei halbjahrlicher (zweimaliger) Verzinsung, 0.5% bei monatlicher Verzin-

sung ( 612

)), und um sich sein Problem entsprechend zu vereinfachen, nennt

man p100z

= 1n, benutzt in Gleichung (3.4) hin zu (3.5), und nach z umgestellt,

z = p·n100

, benutzt in Gleichung (3.5) hin zu (3.6).


Kz = limz→∞

K0 ·(

1 +p

100 · t

)z(3.4)

Kz = limz→∞

K0 ·(

1 +1

n

)z(3.5)

Kz = K0 · limn→∞

·(

1 +1

n

) pn100

(3.6)

Kz = K0 · limn→∞

·[(

1 +1

n

)n] p100

(3.7)

Das K0 in Gleichung (3.5) darf ich in Gleichung (3.6) vor den Grenzwert

schreiben, da K0 ja nicht an der Limesbildung beteiligt ist. Von Gleichung

(3.6) zu (3.7) wurde im weiteren von einem Potenzgesetz, namlich (an)m =

an·m, Gebrauch gemacht.

Wozu aber diese ganzen Umformulierungen und Umbenennungen?

Nun, der sich in den eckigen Klammern befindliche Grenzwert ist genau die

Eulersche Zahl: e, die den Wert

limn→∞

(1 +

1

n

)n= e ' 2.718281828.... (3.8)

hat, demnach ist

Kz=1 = limn→∞

K0 ·[(

1 +1

n

)n] p100

= K0 · ep

100 (3.9)

Wie aber weiss ich jetzt, wie viel Geld ich nach wie vielen Jahren ausbezahlt

bekomme? Dazu stellen wir folgende Tabelle auf

Jahr Anfangskapital Rechnung Endkapital

1 K0 =10.000e K(1) = K0 · ep

100·1 10.618,36e

2 K0 =10.000e K(2) = K0 · ep

100·2 11.274,96e

3 K0 =10.000e K(3) = K0 · ep

100·3 11.972,18e

... K0 =10.000e K(...) = K0 · ep

100·(...) immer mehr!

t K0 =10.000e K(t) = K0 · ep

100·t sehr viel?


Kt = K0 · ep

100·t (3.10)

Gleichung (3.10) gibt letztlich die Große des Kapitals im Laufe der Zeit an.

Diese sogenannte stetige Verzinsung bedeutet nichts anderes als, dass das

soeben Erzeugte in gleichem Maß sofort(!) wieder Neues erzeugt, vergleiche

dazu den letzten Abschnitt in Kapitel (2.1).

4Die e-Funktion

Als Funktion, wie beispielsweise Gleichung (3.10) eine ist, hat die Zahl e ei-

nige sehr nutzliche Eigenschaften.

Zunachst schauen wir uns an, wie man eine normale Exponentialfunktion,

also eine die nicht die Zahl e, sondern z.B. die Zahl a zur Basis hat, differen-

ziert. Die Steigung einer beliebigen Funktion an einer Stelle x berechnet sich

nach dem Differentialquotient, der aus Kurvendiskussion - Eine Anleitung

bekannt sein durfte (Gleichung (3.2)), und an dieser Stelle zur Erinnerung

eingefugt wurde.

f ′(x) =df(x)

dx≡ lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

x+ h− x= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h(4.1)

4.1 Ableitung einer Exponentialfunktion

Fur den Grenzwert n → ∞ galt nach Gleichung (3.8) limn→∞

(1 + 1

n

)n= e.

Wenn n gegen ∞ strebt, dann gilt fur h sicherlich h = 1n

und fur n = 1h.

Dann kann man in Gleichung (3.8) das n durch das h ersetzen und stellt die

Gleichung ein wenig um

limh→0

(1 +

11h

) 1h

= e (4.2)

12


limh→0

(1 + h)1h = e |h (4.3)

limh→0

(1 + h) = eh | − 1 (4.4)

limh→0

h = eh − 1 | · 1

h(4.5)

limh→0

��h

��h=

eh − 1

h(4.6)

limh→0

eh − 1

h= 1 (4.7)

In Gleichung (4.3) wurden beide Seiten mit h potenziert, wenn dann h→ 0,

kurzt sich auf der linken Seite das h im Exponenten.

Auf der linken Seite in Gleichung (4.6) kurzt sich das h und es bleibt die Eins

stehen. Da die Grenzwertbildung nur an Terme mit h greifen, darf ich die 1

dann auf die andere Seite schreiben.

Der Grenzwert letztlich in Gleichung (4.7) entspricht dem des logarithmus

naturalis, also des ln1, wobei ln(e) = 1 ist.

Ersetze ich nun das e durch eine beliebige Zahl a, so gilt damit

limh→0

ah − 1

h= ln(a) (4.8)

Fur die Ableitung einer Exponentialfunktion mit der Basis a benutzen wir

den Differentialquotienten nach Gleichung (4.1).

f ′(x) = limh→0

ax+h − ax

h(4.9)

= ax limh→0

ah − 1

h(4.10)

(4.11)

Das ax darf man auch hier aus der Limesbildung herausziehen, und der

ubriggebliebene Term ist der Grenzwert, hier der ln(a) nach Gleichung (4.8).

Fur die Ableitung(en) gilt daher

f(x) = ax (4.12)

1Der ln fragt nach der Hochzahl zur Basis e, Also z.B.:ewieviel = e? (Ware 1)


f ′(x) = ln(a)ax (4.13)

f ′′(x) = (ln(a))2ax (4.14)... =

... (4.15)

fn(x) = (ln(a))nax (4.16)

4.2 Ableitung der e-Funktion

Fur die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ex ergibt sich nach

Gleichung (4.1):

f ′(x) = limh→0

ex+h − ex

h(4.17)

= limh→0

ex(eh − 1)

h(4.18)

= ex limh→0

(eh − 1)

h(4.19)

In Gleichung (4.18) wurd von an · am = an+m Gebrauch gemacht und an der

Stelle (4.19) darf man auch hier ex vor den Grenzwert ziehen, da er an der

Limesbildung nicht weiter beteiligt ist.

Die Zahl e lasst sich nun nach (3.8) darstellen als: limn→∞

(1 + 1

n

)n.

Fur h → 0 und n→∞ gilt dann folgende Relation h = 1n, also 0 = 1

∞ .

f ′(x) = ex limh→0

(limn→∞

(1 + 1

n

)n)h − 1)

h(4.20)

= ex limh→0

limn→∞

(1 + 1

n

)n·h − 1

h(4.21)

= ex limn→∞

(1 + 1

n

)n 1n − 1

1n

(4.22)

= ex · limn→∞

(1 + 1

n

)1 − 11n

(4.23)

= ex · limn→∞

1 + 1n− 1

1n

(4.24)


= ex · ��1n

��1n

(4.25)

= ex · 1 (4.26)

= ex (4.27)

Naturlich hatte man schon in Gleichung (4.19) von Gleichung (4.7) Gebrauch

machen konnen, um bei Gleichung (4.26) zu landen ¨ .

Das bedeutet, das f(x) = ex → f ′(x) = ex. Also auch die n-te Ablei-

tung fn(x) = ex, wieder die gleiche Funktion reproduziert, gerade weil der

ln(e) = 1. In Abbildung (4.1) ist die e-Funktion mit samtlicher(!) ihrer Ab-

leitungen dargestellt. Die eigentlich einfache Handhabung manifestiert sich

allerdings nur durch ein wenig Ubung. Die e-Funktion ist mit das wichtigs-

te mathematische Objekt und begleitet einen, beginnend in der Oberstufe,

durch ein gesamtes mogliches naturwissenschaftliches Studium.


Abbildung 4.1: Die Funktion f(x) = ex

5Ableitungsregeln

Hat man es mit einer Funktion zur tun, die gewissermaßen als Produkt von

zwei einzelnen Funktionen aufgefasst werden kann, benotigt man zur Diffe-

rentiation (also: zur Ableitung) die so genannte Produktregel.

Wir werden in Abschnitt (5.1) eine allgemeine Herleitung vorstellen, sowie

an zwei einfachen Beispielen nachvollziehen, wozu, warum und wann man sie

braucht.

In Abschnitt (5.2) wird dann die Kettenregel der Ableitung vorgestellt,

denn bei manchen Funktionen hilft einem auch die Produktregel nicht wei-

ter.

Der Vollstandigkeit halber sei angemerkt, dass auch noch eine Quotienten-

regel existiert, die allerdings fur das Abitur nicht benotigt wird, und daher

an dieser Stelle auch nicht weiter diskutiert wird.

5.1 Die Produktregel

In diesem Abschnitt werden wir den Beweis fur die Produktregel vorstellen.

Man hat eine Funktion f(x), welche als Produkt zweier Funktionen aufge-

fasst werden kann: f(x) = u(x) · v(x), gleich welche Funktionen u(x) und

v(x) auch sein mogen. Da dies eine allgemeine Herangehensweise bzw. Her-

leitung ist, sollte man sich zu besserem Verstandnis dazu auch die Beispiele

17


ansehen. Nach Gleichung (4.1) ist der Differentialquotient uber den Limes

von h definiert. Ersetze ich nun f(x) durch die beiden Funktionen u(x) und

v(x), also f(x) = u(x) · v(x) ergibt sich folgendes:

f ′(x) = limh→0

u(x+ h) · v(x+ h)− u(x) · v(x)

h(5.1)

= limh→0

u(x+ h)v(x+ h)−u(x+ h)v(x) + u(x+ h)v(x)− u(x)v(x)

h(5.2)

In der zweiten Zeile dieser langen Gleichung wurde einfach mit Null erganzt,

denn sieht man sich mal den mittleren Teil,−u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x) = 0

an, so kann dieser ja nur Null sein, denn auch −5 + 5 = 0. Dieser Trick

befahigt uns allerdings, nach umsortieren und faktorisieren der jeweils farb-

lich gekennzeichneten Terme, zu folgendem:

f ′(x) = limh→0

u(x+ h)v(x+ h)− u(x+ h)v(x) + u(x+ h)v(x)− u(x)v(x)

h

= limh→0

u(x+ h)v(x+ h)− u(x+ h)v(x) + u(x+ h)v(x)− u(x)v(x)

h

= limh→0

u(x+ h)[v(x+ h)− v(x)] + v(x)[u(x+ h)− u(x)]

h

= limh→0

u(x+ h)[v(x+ h)− v(x)]

h+ lim

h→0

v(x)[u(x+ h)− u(x)]

h

= limh→0

u(x+ h) · limh→0

v(x+ h)− v(x)

h+ v(x) lim

h→0

u(x+ h)− u(x)

h(5.3)

Bei Grenzwertbildung h→ 0 wird aus u(x+ h) = u(x), letztlich bleibt

u(x) · limh→0

v(x+ h)− v(x)

h+ v(x) lim

h→0

u(x+ h)− u(x)

h(5.4)

und man erkennt, dass die beiden Terme, limh→0

v(x+h)−v(x)h

und limh→0

u(x+h)−u(x)h

,jeweils

die Ableitung von v(x), namlich v′(x), und die Ableitung von u(x), namlich

u′(x) darstellen, schreibt man das etwas kurzer, so erhalt man letztlich fur


die Ableitung aus

f(x) = u(x) · v(x) (5.5)

f ′(x) = u′(x)v(x) + v′(x)u(x) (5.6)

f ′(x) = u′v + v′u (5.7)

wobei am verbreitetsten wohl Aussage bzw. Gleichung (5.7) ist.

5.1.1 Beispiele zur Produktregel

Erstes Beispiel

Als erstes Beispiel dient zunachst die Funktion f1(x) = x9. Deren Ableitung

lasst sich mit Gleichung (3.24) aus Kurvendiskussion - Eine Anleitung relativ

leicht zu f ′1(x) = 9x8 bestimmen. Da man die Funktion auch als Produkt

zweier Funktionen, namlich u(x) = x4 und v(x) = x5 ansehen kann, wollen

wir anhand dieses Beispieles die Produktregel uberprufen (Erinnert sei an

dieser Stelle wieder an eines der Potenzgesetze: an · am = an+m). Mit

f1(x) = x9 (5.8)

f1(x) = x4 · x5 (5.9)

f1(x) = u(x) · v(x) (5.10)

(5.11)

und der Ableitung

f ′1(x) =df(x)

dx(5.12)

f ′1(x) = u′(x)v(x) + v′(x)u(x) (5.13)

Der Ubersicht halber lasse ich nun die Klammern bei u und v weg, das heißt

u(x) = u = x4 und v(x) = v = x5.

u = x4 → u′ = 4x3 (5.14)


v = x5 → v′ = 5x4 (5.15)

Die Produktregel sagt nun f ′1(x) = u′v + v′u. Damit ist dann

f ′1(x) = 4x3 · x5 + 5x4 · x4 (5.16)

f ′1(x) = 4x3+5 + 5x4+4 (5.17)

f ′1(x) = 4x8 + 5x8 (5.18)

f ′1(x) = 9x8 (5.19)

� (bedeutet: Beweis gefuhrt) Passt also!

Zweites Beispiel

Als zweites Beispiel wollen wir eine Funktion betrachten, die ein Produkt

einer ganzrationalen und einer exponentiellen Funktion darstellt.

Nach Gleichung (5.7), und nach Substitution (u = ex, v = x3), Ableitung

(v′ = 3x2, u′ = ex) und anschliessendem Summieren u′v + v′u ist

f2(x) = ex · x3 (5.20)

f ′2(x) = ex · x3 + 3x2 · ex (5.21)

f ′2(x) = ex(x3 + 3x2) (5.22)

f ′2(x) = x2ex · (x+ 3) (5.23)

Das Faktorisieren, so wie es in Gleichung (5.23) geschehen ist, ist sinnvoll,

wenn man beispielsweise die Extrema der Funktion sucht, sprich f ′(x) = 0.

Erinnert sei an e0 = 1, was hier wegen des x2 aber dennoch Null ist. Hier

ware demnach der x-Wert des ersten Extrempunktes bei x1 = 0, und der

zweite1 bei x2 = −3.

1Der Term in der Klammer muss noch Null werden


5.2 Die Kettenregel

Die Kettenregel wird bei Funktionen angewendet, die gewissermaßen als ei-

ne Verkettung betrachtet werden. Dabei wird eine Funktion substituiert und

nach dieser Substitution abgeleitet. Das zweite Beispiel soll lediglich verdeut-

lichen, dass die Verkettung auch einen hoheren Grad als 2 haben kann. Dann

wird die Kettenregel rekursiv verwendet. Dies ist aber, zumindest an dieser

Schule, seit 30 Jahren nicht vorgekommen.

Allgemein dargestellt lautet die Kettenregel:

f(x) = u(v(x)) (5.24)

f ′(x) = u′(v(x)) · v′(x) (5.25)

Auf einen allgemeinen Beweis sei an dieser Stelle verzichtet.

Fur eine einfache Verkettung (also von Grad 2) kann man auch sagen, man

multipliziert die innere mit der außeren Ableitung. Das soll das erste Bei-

spiel verdeutlichen.

5.2.1 Beispiele zur Kettenregel

Erstes Beispiel

Sei die zu differenzierende Funktion beispielsweise f1(x) = (x2 + 3x)4, so

konnte man sicherlich ausmultiplizieren und anschliessend jeden einzelnen

Term differenzieren. Dies ist jedoch zeitaufwendig: Man macht von der Ket-

tenregel Gebrauch.

Dabei kann man nun den Term in der Klammer als v(x) auffassen. Man nennt

dies substituieren: f1(x) = u(v(x))4. Anschliessend wendet man Gleichung

(5.25) an.

Denn dann ist v(x) = x2 + 3x und u(v) = v4. Die Ableitungen von u und

v sind dann v′(x) = 2x + 3 und u′(v) = 4v3 und letztlich ergibt sich die

Ableitung zu f ′1(x) = 4 · (x2 + 3x)3 · (2x+ 3).

Sieht man genauer hin, erkennt man, dass tatsachlich innere· außere Ab-

leitung multipliziert wurde.


Fur das Verstandnis des zweiten Beispieles ist eine etwas mathematischere

Herangehensweise erforderlich, denn letztlich hat man in der Funktion f1(x)

den Teil in der Klammer lediglich mit v substituiert, die Funktion danach

abgeleitet und anschließend v nach (dem eigentlichen) x differenziert.

f ′1(x) =df1(x)

dx(5.26)

f ′1(x) =df1(x)

dv· dvdx

(5.27)

f ′1(x) =df1(x)

��dv· �

�dv

dx(5.28)

In den Gleichungen (5.26) bis (5.28) steht nichts anderes:

Man hat mit 1 erweitert, denn dvdv

= 1, und das andert bekanntlich den Wert

der Gleichung nicht. Jetzt konnte man naturlich auch mit noch mehreren

”Einsen“ ( dv

dx= dv

db· dbdc· dcdz· dzdx

) erweitern, und genauso funktioniert die Ket-

tenregel auch.

Das zweite Beispiel geht also noch einen Schritt weiter.

Zweites Beispiel

Als ein weiteres Beispiel soll eine etwas”weit hergeholte“ Funktion dienen. So

etwas bekommt man relativ selten zu Gesicht, gewahlt wurde diese Funktion

dennoch, da sie ein wunderbares Beispiel fur die Anwendung der Kettenre-

gel darstellt, und alles bisher diskutierte Verwendung findet.

Sei also f2(x) = 2√x4+3x2+7, dann gilt fur die Ableitung f ′2(x) = df2(x)

dx. Dieses

Problem substituiert man folgendernmaßen:

f2(x) = 2√x4+3x2+7 (5.29)

f2(x) = 2√α (5.30)

f2(x) = 2β (5.31)


wobei

α = x4 + 3x2 + 7 (5.32)

β =√α (5.33)

Die eigentliche Ableitung f ′2(x) = df2(x)dx

muss man nun auch nach seinen

Variablen α und β ableiten.

df2(x)

dx=

df ′2(x)

dβ· dβdα· dαdx

(5.34)

Man erkennt, dass man eigentlich nur mit 1 erweitert hat

df ′2(x)

dx=

df ′2(x)

��dβ·�

�dβ

��dα·�

�dα

dx=df ′2(x)

dx(5.35)

Jedenfalls muss man nun drei mal ableiten und resubstituieren.

Erster Schritt: Zunachst leitet man f2(x) nach β ab, wobei f2(x) = 2β =

eln 2·β ist.

Ubrigens: Diese Funktion leitet man genauso ab, wie in Abschnitt (4.1) (Glei-

chung (4.13)) erklart wurde.

df2(x)

dβ= f ′2(x) = ln 2 · eln 2·β = ln 2 · 2β (5.36)

Zweiter Schritt: Anschliessend wird β nach α differenziert, wobei β =√α = α

12 ist. Als Funktion wurde dies ubrigens so aussehen β(α) =

√α,

genau wie f(x) =√x = x

12 ware.

dβ

dα= β′ =

1

2· α−

12 =

1

2√α

(5.37)

Dritter Schritt: Nun noch α nach x ableiten, wobei α = x4 + 3x2 + 7

ist. Als Funktion wurde dies folgendermaßen aussehen α(x) = x4 + 3x2 + 7.

Wie man seine Funktionen und Variablen letztlich benennt, ist jedem selbst


uberlassen.

dα

dx= α′ = 4x3 + 6x (5.38)

Fugt man alle drei Ableitungen zusammen, so erhalt man

df2(x)

dx=

df ′2(x)

dβ· dβdα· dαdx

(5.39)

= ln 2 · 2β · 1

2√α· (4x3 + 6x) (5.40)

Nun muss man selbstverstandlich noch resubstituieren, also seine ursprunglichen

Werte α = x4 + 3x2 + 7 sowie β =√α =√x4 + 3x2 + 7 wieder einsetzen, so

dass die Ableitung auch nur noch von x abhangt.

df2(x)

dx= ln 2 · 2

√α · 1

2√α· (4x3 + 6x) (5.41)

= ln 2 · 2√x4+3x2+7 · 1

2√x4 + 3x2 + 7

· (4x3 + 6x) (5.42)

=ln 2 · 2

√x4+3x2+7 · (4x3 + 6x)

2√x4 + 3x2 + 7

(5.43)

Kein besonders schones Ergebnis, dennoch sehr intuitiv. Angemerkt sei, dass

man fur die zweite Ableitung (unter anderem) die Quotientenregel benotigen

wurde.

6Kurvendiskussion

Alles bisher diskutierte findet selbstredend Anwendung in beispielsweise ei-

ner Kurvendiskussion, bei welcher eine Exponentialfunktion vorkommt.

Das in diesem Kapitel diskutierte Beispiel ist keineswegs weit hergeholt, son-

dern konnte ein Teil einer im schriftlichen Abitur im Fach Mathematik ge-

stellten Aufgabe sein.

i.) Zu zeigen ist, dass f ′′(x) = e−x2(3x2 +2x4) nach zweimaligem Differen-

zieren aus f(x) = −e−x2(12x2 + 1

2) hervorgeht.

ii.) Untersuche f(x) auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

iii.) Untersuche das Verhalten von f(x) im Unendlichen.

iv.) Skizziere f(x).

v.) Der Graph der Funktion f ′(x) schließt mit der x-Achse zwischen seiner

einzigen Nullstelle und x = 3 eine Flache ein. Wie groß ist diese?

25


6.1 Losung Teil i

Zu zeigen ist, dass f ′′(x) = e−x2(3x2 + 2x4) nach zweimaligem Diffe-

renzieren aus f(x) = −e−x2(12x2 + 1

2) hervorgeht.

Dazu nun benotigen wir sowohl die Produktregel, vergleiche Abschnitt (5.1),

als auch die Kettenregel, vergleiche Abschnitt (5.2).

f(x) leiten wir also zweimal ab. Fur den Exponenten der e-Funktion benotigen

wir die Kettenregel, denn ich muss das x2 substituieren, indem ich es bei-

spielsweise z nenne. Damit ist die Ableitung von z nach x gegeben als z′ =dzdx

= 2x. Da f(x) zudem noch ein Produkt darstellt, namlich das der e-

Funktion u(x) = e−x2

multipliziert mit der Klammer v(x) = (12x2 + 1

2),

benotigen wir im Anschluss an die erste Rechnung auch die Produktregel.

Sinnigerweise wurden die beiden Funktionen fur die folgende Rechnung mit

der Produktregel schon mit u und v benannt. Zunachst betrachten wir die

e-Funktion.

u(x) = −e−x2 ≡ −e−z (6.1)

u′(x) =d(u(x))

dz· dzdx

(6.2)

u′(x) = e−z · (2x) (6.3)

u′(x) = e−x2 · (2x) (6.4)

u′(x) = 2xe−x2

(6.5)

Die Funktion in der Klammer leitet man leicht ab, denn u(x) = 12x2 + 1

2→

u′(x) = x. Nun konnen wir die Produktregel anwenden. Mit

u = −e−x2 (6.6)

u′ = 2xe−x2

(6.7)

v =1

2x2 +

1

2(6.8)

v′ = x (6.9)

(6.10)


fuhrt die Anwendung der Produktregel nach Gleichung (5.7)

f ′(x) = u′v + v′u (6.11)

= 2xe−x2 ·(

1

2x2 +

1

2

)+ x ·

(−e−x2

)(6.12)

= e−x2

(x3 + x)− xe−x2 (6.13)

= e−x2

(x3 + x− x) (6.14)

= x3e−x2

(6.15)

zum Ergebnis in Gleichung (6.15).

Gleichung (6.15) ist also letztlich die erste Ableitung f ′(x) von f(x).

Fur die zweite Ableitung muss ich nun noch f ′(x) ableiten. Auch hier fin-

den beide Ableitungsreglen Anwendung, nur dass man die e-Funktion fur

die Anwendung der Kettenregel ja bereits substituiert hat, man also bereits

u(x) = −e−x2 und u′(x) = 2xe−x2

ubernehmen kann1. Nun ist v(x) = x3 und

v′(x) = 3x2. Ein weiteres mal Anwenden der Produktregel fuhrt auf

f ′′(x) = −2x4e−x2

+ 3x2e−x2

(6.16)

= e−x2

(3x2 − 2x4) (6.17)

Damit ist Aufgabenteil i.) gelost.

f(x) = −e−x2(

1

2x2 +

1

2

)(6.18)

f ′(x) = x3e−x2

(6.19)

f ′′(x) = e−x2

(3x2 − 2x4) (6.20)

6.2 Losung Teil ii

Untersuche f(x) auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Zur Bestimmung der Nullstellen muss Gleichung (6.18) Null gesetzt werden.

1Das ist das Schone an der e-Funktion - sie reproduziert sich selbst


Da eirgendwas 6= 0, muss der Term in der Klammer Null werden.

1

2x2 +

1

2= 0 (6.21)

1

2x2 = −1

2(6.22)

x2 = −1 (6.23)

Gleichung (6.23) ist an dieser Stelle nicht losbar, das heißt, es existieren kei-

ne Nullstellen2 (vergleiche dazu Abbildung (6.1)). Die Funktion nahert sich

der x-Achse”von unten“ an, erreicht sie aber nie. Das nennt man asympto-

tisches Verhalten, vergleiche dazu Abschnitt (2.1). Dazu schauen wir uns in

Abschnitt (6.3) das Verhalten im Unendlichen an.

Fur die Extrema muss ich Gleichung (6.19) Nullsetzen. Da eirgendwas 6= 0

wird x3 hier Null3, damit ist der x-Wert des Extremums (es existiert nur ein

Extremum) x1 = 0. Zur Bestimmung des y-Wertes gehe ich mit dem ermit-

telten x-Wert, wie auch bei den ganzrationalen Funktionen, in die Ausgangs-

gleichung (6.18), denn auch bei Exponentialfunktionen gilt: f(x) = y

f(x) = −e−x2(

1

2x2 +

1

2

)(6.24)

f(0) = −e−02(

1

202 +

1

2

)(6.25)

f(0) = −1 ·(

1

2

)(6.26)

f(0) = −1

2(6.27)

Das Extremum liegt also bei EX1 (0/− 12).

Zur Bestimmung der Wendepunkte setzt man Gleichung (6.20) Null. Da

auch hier eirgendwas 6= 0 kann nur der Teil in der Klammer Null werden.

3x2 − 2x4 = 0 (6.28)

x2(3− 2x2) = 0 (6.29)

2Zumindest keine reellen Nullstellen3Vergleiche hierzu das zweite Beispiel in Abschnitt (5.1.1)


→ x1/2 = 0 (6.30)

3− 2x2 = 0 (6.31)

3 = 2x2 | · 1

2(6.32)

x2 =3

2|√ (6.33)

x3/4 = ±√

3

2(6.34)

Damit ware der WP1 (0/ − 12). Das kann aber nicht sein. Hier nun muss

entschieden werden, ob es sich um ein Extrem- oder Wendepunkt handelt.

In einem solchen Fall mussen weitere Ableitungen gebildet werden, wenn

dann eine gerade Ableitung, z.B. die vierte Ableitung f 4(x) 6= 0 ist, dann

hat man ein Extrempunkt. Fur den Fall, dass eine ungerade Ableitung, z.B.

f 3(x) = f ′′′(x) 6= 0 ist, hatte man es mit einem Wendepunkt zu tun4.

Auch mit den beiden Werten x3/4 geht man in die Ausgangsgleichung, kann

aber an dieser Stelle ausnutzen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist5.

Es muss also nur ein f(x) = y berechnet werden, der andere x-Wert hat den

gleichen y-Wert.

f(x) = −e−x2(

1

2x2 +

1

2

)(6.35)

f

(±√

3

2

)= −e−

(±√

32

)2

1

2

(±√

3

2

)2

+1

2

(6.36)

f

(±√

3

2

)= −e−

32

(1

2·(

3

2

)+

1

2

)(6.37)

f

(±√

3

2

)= −e−

32

(3

4+

1

2

)(6.38)

f

(±√

3

2

)= −e−

32

(5

4

)(6.39)

4In diesem Fall wird die vierte Ableitung das erste mal Null5Vergleiche: Kurvendiskussion - Eine Anleitung; Abschnitt (2.1)


f

(±√

3

2

)= −e−

32

(5

4

)(6.40)

f

(±√

3

2

)' −0.22313 · 1.25 (6.41)

f

(±√

3

2

)' −0.2789 (6.42)

Die beiden Wendepunkte sind alsoWP1

(+√

32/− 0.279

)undWP2

(−√

32/− 0.279

).

6.3 Losung Teil iii

Untersuche das Verhalten von f(x) im Unendlichen.

Das Verhalten im Unendlichen → ∞ bestimmt man i.A. so, dass man fur

x einmal einen sehr großen x >> 1, und einmal einen sehr kleinen Wert

x << 1 in die Funktionsgleichung einsetzt. Das kann man so machen, da

die betrachteten Funktionen in der Regel in der naheren Umgebung des Ur-

sprunges herum ihren charakteristischen Verlauf haben, um dann asympto-

tisch gegen irgendeinen Grenzwert zu laufen.

In diesem Fall ist

f(x >> 1) ' 0 (6.43)

f(<< 1) ' 0 (6.44)

Dies bedeutet, dass sich der Graph in beiden Richtungen asymptotisch6 der

Null nahert, und zwar vom dritten und vierten Quadranten aus (vergleiche

Abbildung (6.1)).

6.4 Losung Teil iv

Skizziere f(x)

6Vergleiche Abschnitt (2.1)


In Abbildung (6.1) ist der Graph der Funktion f(x) = −e−x2(x22

+ 12) darge-

stellt. Der Vollstandigkeit halber wurden auch die beiden Ableitungsfunktio-

nen als Graph dargestellt (Das war allerdings nicht in der Aufgabe verlangt

gewesen). Schon zu erkennen ist das im vorherigen Abschnitt beschriebene

Verhalten im Unendlichen. Man moge auch das Extremum und die Wende-

punkte suchen, um sie an der in Abschnitt (6.2) berechneten Stelle zu finden.

Abbildung 6.1: Die Funktion f(x) = −e−x2(x22

+ 12)


Abbildung 6.2: Die Ableitung der Funktion f(x), die Funktion f ′(x) = x3e−x2

Abbildung 6.3: Die Ableitung der Funktion f ′(x), die Funktion f ′′(x) =

e−x2(3x2 − 2x4)


Abbildung 6.4: Die Funktionen f(x) = −e−x2(x22

+ 12), f ′(x) = x3e−x

2und

f ′′(x) = e−x2(3x2 − 2x4)

6.5 Losung v

Der Graph der Funktion f ′(x) schließt mit der x-Achse zwischen

seiner einzigen Nullstelle und x = 3 eine Flache ein. Wie groß ist

diese?

Zur Losung dieses Problemes muss die Integralrechnung herangezogen wer-

den. Die Stammfunktion F (x) zu f ′(x) ist naturlich f(x) selbst. Das Problem

ware ansonsten nur uber partielle Integration, die aber nicht im Lehrplan

steht und folglich auch nicht unterrichtet wird, losbar.

Allgemein gilt also fur die Stammfunktion∫f(x)dx = F (x) (6.45)


Im hier vorliegenden Fall ist∫ 3

0

f ′(x)dx = f(x)|30 (6.46)

Mit f ′(x) = x3e−x2

und f(x) = −e−x2(12x2 + 1

2) ist∫ 3

0

f ′(x)dx = f(x)|30 (6.47)∫ 3

0

x3e−x2

dx = −e−x2(1

2x2 +

1

2)

∣∣∣∣30

(6.48)

=

(−e−32(1

232 +

1

2)

)−(−e−02(1

202 +

1

2)

)(6.49)

=

(−e−9(9

2+

1

2)

)−(−e0(0 +

1

2)

)(6.50)

=(−e−9 · 5

)−(−1 · 1

2

)(6.51)

=(−e−9 · 5

)−(−1 · 1

2

)(6.52)

= −1.234 · 10−4 · 5 + 0.5 (6.53)

= −6.17 · 10−4 + 0.5 ' 0.499383 (6.54)

Der hier errechnete Wert ist positiv, bedeutet:

Die Flache von 0.499383FE ' 0.5FE liegt uber der x-Achse7. Man verglei-

che die Flache zwischen 0 und 3 in Abbildung (6.5), grob abgeschatzt konnte

sie in etwa passen, daher sollte das Ergebnis stimmen 8.

7Passt schon mal!8Tut es ubrigens auch.


Abbildung 6.5: Die Flache unter der Funktion f ′(x) = x3e−x2

im Intervall

0→ 3

Abbildungsverzeichnis

2.1 Die Funktionen g(x) = 2x, f(x) = x2 und f2(x) = 2x . . . . . 4

2.2 Die Funktion B(t) = 700 · at = 700 · 25√

2t

. . . . . . . . . . . . 6

4.1 Die Funktion f(x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1 Die Funktion f(x) = −e−x2(x22

+ 12) . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Die Ableitung der Funktion f(x), die Funktion f ′(x) = x3e−x2

32

6.3 Die Ableitung der Funktion f ′(x), die Funktion f ′′(x) = e−x2(3x2−

2x4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 Die Funktionen f(x) = −e−x2(x22

+ 12), f ′(x) = x3e−x

2und

f ′′(x) = e−x2(3x2 − 2x4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.5 Die Flache unter der Funktion f ′(x) = x3e−x2

im Intervall

0→ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

36

sfe dreieich-sprendlingen

Documents